Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74709 / 53741
↖ ↑ ↗
← N 30.796115°
E 25.194397°		 ← 262.36 m → N 30.796115°
E 25.197144°		 →
↑
262.36 m
↓
↑
262.36 m
↓
N 30.793755°
E 25.194397°		 ← 262.37 m →
68 833 m²		 N 30.793755°
E 25.197144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569988250732422 y=0.410015106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569988250732422 × 217)
    floor (0.569988250732422 × 131072)
    floor (74709.5)     		tx = 74709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410015106201172 × 217)
    floor (0.410015106201172 × 131072)
    floor (53741.5)     		ty = 53741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74709 / 53741 ti = "17/74709/53741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74709/53741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74709 ÷ 217
    74709 ÷ 131072     		x = 0.569984436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53741 ÷ 217
    53741 ÷ 131072     		y = 0.410011291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569984436035156 × 2 - 1) × π
    0.139968872070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.43972518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410011291503906 × 2 - 1) × π
    0.179977416992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.565415731018562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43972518} λ = 0.43972518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.565415731018562))-π/2
    2×atan(1.76017939180639)-π/2
    2×1.0541449643858-π/2
    2.1082899287716-1.57079632675     		φ = 0.53749360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43972518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.194397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53749360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.796115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74709 KachelY 53741 0.43972518 0.53749360 25.194397 30.796115
    Oben rechts KachelX + 1 74710 KachelY 53741 0.43977312 0.53749360 25.197144 30.796115
    Unten links KachelX 74709 KachelY + 1 53742 0.43972518 0.53745242 25.194397 30.793755
    Unten rechts KachelX + 1 74710 KachelY + 1 53742 0.43977312 0.53745242 25.197144 30.793755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53749360-0.53745242) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dl = 262.357779999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53749360-0.53745242) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dr = 262.357779999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43972518-0.43977312) × cos(0.53749360) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858994616384975 × 6371000     		do = 262.359066365529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43972518-0.43977312) × cos(0.53745242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859015699183198 × 6371000     		du = 262.365505594778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53749360)-sin(0.53745242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858994616384975-0.859015699183198)×R²
    abs(0.43977312-0.43972518)×2.10827982231043e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10827982231043e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10827982231043e-05×40589641000000     		ar = 68832.7869153005m²