Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74708 / 53812
↖ ↑ ↗
← N 30.628459°
E 25.191650°		 ← 262.82 m → N 30.628459°
E 25.194397°		 →
↑
262.80 m
↓
↑
262.80 m
↓
N 30.626095°
E 25.191650°		 ← 262.82 m →
69 070 m²		 N 30.626095°
E 25.194397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569980621337891 y=0.410556793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569980621337891 × 217)
    floor (0.569980621337891 × 131072)
    floor (74708.5)     		tx = 74708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410556793212891 × 217)
    floor (0.410556793212891 × 131072)
    floor (53812.5)     		ty = 53812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74708 / 53812 ti = "17/74708/53812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74708/53812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74708 ÷ 217
    74708 ÷ 131072     		x = 0.569976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53812 ÷ 217
    53812 ÷ 131072     		y = 0.410552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569976806640625 × 2 - 1) × π
    0.13995361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43967724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410552978515625 × 2 - 1) × π
    0.17889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.562012211145538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43967724} λ = 0.43967724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562012211145538))-π/2
    2×atan(1.75419876962278)-π/2
    2×1.0526818894786-π/2
    2.1053637789572-1.57079632675     		φ = 0.53456745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43967724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53456745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.628459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74708 KachelY 53812 0.43967724 0.53456745 25.191650 30.628459
    Oben rechts KachelX + 1 74709 KachelY 53812 0.43972518 0.53456745 25.194397 30.628459
    Unten links KachelX 74708 KachelY + 1 53813 0.43967724 0.53452620 25.191650 30.626095
    Unten rechts KachelX + 1 74709 KachelY + 1 53813 0.43972518 0.53452620 25.194397 30.626095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53456745-0.53452620) × R
    4.12500000001037e-05 × 6371000     		dl = 262.803750000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53456745-0.53452620) × R
    4.12500000001037e-05 × 6371000     		dr = 262.803750000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43967724-0.43972518) × cos(0.53456745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.860489080531569 × 6371000     		do = 262.815514183102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43967724-0.43972518) × cos(0.53452620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.86051009539088 × 6371000     		du = 262.821932662058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53456745)-sin(0.53452620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860489080531569-0.86051009539088)×R²
    abs(0.43972518-0.43967724)×2.10148593112747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10148593112747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10148593112747e-05×40589641000000     		ar = 69069.746095646m²