Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74706 / 61009
↖ ↑ ↗
← N 12.337319°
E 25.186157°		 ← 298.37 m → N 12.337319°
E 25.188904°		 →
↑
298.35 m
↓
↑
298.35 m
↓
N 12.334635°
E 25.186157°		 ← 298.38 m →
89 021 m²		 N 12.334635°
E 25.188904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569965362548828 y=0.465465545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569965362548828 × 217)
    floor (0.569965362548828 × 131072)
    floor (74706.5)     		tx = 74706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465465545654297 × 217)
    floor (0.465465545654297 × 131072)
    floor (61009.5)     		ty = 61009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74706 / 61009 ti = "17/74706/61009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74706/61009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74706 ÷ 217
    74706 ÷ 131072     		x = 0.569961547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61009 ÷ 217
    61009 ÷ 131072     		y = 0.465461730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569961547851562 × 2 - 1) × π
    0.139923095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43958137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465461730957031 × 2 - 1) × π
    0.0690765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.217010344579994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43958137} λ = 0.43958137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217010344579994))-π/2
    2×atan(1.24235695373218)-π/2
    2×0.893061579430946-π/2
    1.78612315886189-1.57079632675     		φ = 0.21532683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43958137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.186157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21532683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.337319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74706 KachelY 61009 0.43958137 0.21532683 25.186157 12.337319
    Oben rechts KachelX + 1 74707 KachelY 61009 0.43962931 0.21532683 25.188904 12.337319
    Unten links KachelX 74706 KachelY + 1 61010 0.43958137 0.21528000 25.186157 12.334635
    Unten rechts KachelX + 1 74707 KachelY + 1 61010 0.43962931 0.21528000 25.188904 12.334635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21532683-0.21528000) × R
    4.68299999999977e-05 × 6371000     		dl = 298.353929999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21532683-0.21528000) × R
    4.68299999999977e-05 × 6371000     		dr = 298.353929999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43958137-0.43962931) × cos(0.21532683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976906613688854 × 6371000     		do = 298.372425396617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43958137-0.43962931) × cos(0.21528000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976916618630244 × 6371000     		du = 298.375481163245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21532683)-sin(0.21528000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976906613688854-0.976916618630244)×R²
    abs(0.43962931-0.43958137)×1.00049413901404e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00049413901404e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00049413901404e-05×40589641000000     		ar = 89021.0415869772m²