Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74705 / 56018
↖ ↑ ↗
← N 25.279471°
E 25.183410°		 ← 276.18 m → N 25.279471°
E 25.186157°		 →
↑
276.18 m
↓
↑
276.18 m
↓
N 25.276987°
E 25.183410°		 ← 276.18 m →
76 276 m²		 N 25.276987°
E 25.186157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569957733154297 y=0.427387237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569957733154297 × 217)
    floor (0.569957733154297 × 131072)
    floor (74705.5)     		tx = 74705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427387237548828 × 217)
    floor (0.427387237548828 × 131072)
    floor (56018.5)     		ty = 56018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74705 / 56018 ti = "17/74705/56018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74705/56018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74705 ÷ 217
    74705 ÷ 131072     		x = 0.569953918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56018 ÷ 217
    56018 ÷ 131072     		y = 0.427383422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569953918457031 × 2 - 1) × π
    0.139907836914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43953343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427383422851562 × 2 - 1) × π
    0.145233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.456263410583694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43953343} λ = 0.43953343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456263410583694))-π/2
    2×atan(1.57816599564673)-π/2
    2×1.00600316212719-π/2
    2.01200632425438-1.57079632675     		φ = 0.44121000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43953343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.183410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44121000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.279471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74705 KachelY 56018 0.43953343 0.44121000 25.183410 25.279471
    Oben rechts KachelX + 1 74706 KachelY 56018 0.43958137 0.44121000 25.186157 25.279471
    Unten links KachelX 74705 KachelY + 1 56019 0.43953343 0.44116665 25.183410 25.276987
    Unten rechts KachelX + 1 74706 KachelY + 1 56019 0.43958137 0.44116665 25.186157 25.276987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44121000-0.44116665) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dl = 276.182849999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44121000-0.44116665) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dr = 276.182849999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43953343-0.43958137) × cos(0.44121000) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.904235614269622 × 6371000     		do = 276.176831622793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43953343-0.43958137) × cos(0.44116665) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90425412533966 × 6371000     		du = 276.182485380057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44121000)-sin(0.44116665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904235614269622-0.90425412533966)×R²
    abs(0.43958137-0.43953343)×1.85110700376967e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.85110700376967e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.85110700376967e-05×40589641000000     		ar = 76276.0852089132m²