Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74704 / 56019
↖ ↑ ↗
← N 25.276987°
E 25.180664°		 ← 276.12 m → N 25.276987°
E 25.183410°		 →
↑
276.18 m
↓
↑
276.18 m
↓
N 25.274503°
E 25.180664°		 ← 276.13 m →
76 262 m²		 N 25.274503°
E 25.183410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569950103759766 y=0.427394866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569950103759766 × 217)
    floor (0.569950103759766 × 131072)
    floor (74704.5)     		tx = 74704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427394866943359 × 217)
    floor (0.427394866943359 × 131072)
    floor (56019.5)     		ty = 56019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74704 / 56019 ti = "17/74704/56019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74704/56019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74704 ÷ 217
    74704 ÷ 131072     		x = 0.5699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56019 ÷ 217
    56019 ÷ 131072     		y = 0.427391052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5699462890625 × 2 - 1) × π
    0.139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43948550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427391052246094 × 2 - 1) × π
    0.145217895507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.456215473684074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43948550} λ = 0.43948550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456215473684074))-π/2
    2×atan(1.57809034507506)-π/2
    2×1.0059814887794-π/2
    2.0119629775588-1.57079632675     		φ = 0.44116665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43948550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44116665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.276987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74704 KachelY 56019 0.43948550 0.44116665 25.180664 25.276987
    Oben rechts KachelX + 1 74705 KachelY 56019 0.43953343 0.44116665 25.183410 25.276987
    Unten links KachelX 74704 KachelY + 1 56020 0.43948550 0.44112330 25.180664 25.274503
    Unten rechts KachelX + 1 74705 KachelY + 1 56020 0.43953343 0.44112330 25.183410 25.274503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44116665-0.44112330) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dl = 276.182849999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44116665-0.44112330) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dr = 276.182849999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43948550-0.43953343) × cos(0.44116665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90425412533966 × 6371000     		do = 276.124875349762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43948550-0.43953343) × cos(0.44112330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904272634710403 × 6371000     		du = 276.130527408786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44116665)-sin(0.44112330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90425412533966-0.904272634710403)×R²
    abs(0.43953343-0.43948550)×1.85093707429917e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85093707429917e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85093707429917e-05×40589641000000     		ar = 76261.7355427731m²