Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74701 / 55159
↖ ↑ ↗
← N 27.393717°
E 25.172425°		 ← 271.12 m → N 27.393717°
E 25.175171°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 27.391278°
E 25.172425°		 ← 271.13 m →
73 515 m²		 N 27.391278°
E 25.175171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569927215576172 y=0.420833587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569927215576172 × 217)
    floor (0.569927215576172 × 131072)
    floor (74701.5)     		tx = 74701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420833587646484 × 217)
    floor (0.420833587646484 × 131072)
    floor (55159.5)     		ty = 55159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74701 / 55159 ti = "17/74701/55159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74701/55159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74701 ÷ 217
    74701 ÷ 131072     		x = 0.569923400878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55159 ÷ 217
    55159 ÷ 131072     		y = 0.420829772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569923400878906 × 2 - 1) × π
    0.139846801757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43934169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420829772949219 × 2 - 1) × π
    0.158340454101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.497441207357323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43934169} λ = 0.43934169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497441207357323))-π/2
    2×atan(1.64450792767728)-π/2
    2×1.0244534400507-π/2
    2.0489068801014-1.57079632675     		φ = 0.47811055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43934169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.172425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47811055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.393717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74701 KachelY 55159 0.43934169 0.47811055 25.172425 27.393717
    Oben rechts KachelX + 1 74702 KachelY 55159 0.43938962 0.47811055 25.175171 27.393717
    Unten links KachelX 74701 KachelY + 1 55160 0.43934169 0.47806799 25.172425 27.391278
    Unten rechts KachelX + 1 74702 KachelY + 1 55160 0.43938962 0.47806799 25.175171 27.391278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47811055-0.47806799) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47811055-0.47806799) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43934169-0.43938962) × cos(0.47811055) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887865847628452 × 6371000     		do = 271.120517599347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43934169-0.43938962) × cos(0.47806799) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887885428783309 × 6371000     		du = 271.126496940544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47811055)-sin(0.47806799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887865847628452-0.887885428783309)×R²
    abs(0.43938962-0.43934169)×1.95811548571179e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95811548571179e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95811548571179e-05×40589641000000     		ar = 73515.0739377037m²