Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7470 / 5446
↖ ↑ ↗
← N 76.000156°
W 97.932129°		 ← 295.52 m → N 76.000156°
W 97.921143°		 →
↑
295.55 m
↓
↑
295.55 m
↓
N 75.997498°
W 97.932129°		 ← 295.58 m →
87 350 m²		 N 75.997498°
W 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227981567382812 y=0.166213989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227981567382812 × 215)
    floor (0.227981567382812 × 32768)
    floor (7470.5)     		tx = 7470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166213989257812 × 215)
    floor (0.166213989257812 × 32768)
    floor (5446.5)     		ty = 5446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7470 / 5446 ti = "15/7470/5446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7470/5446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7470 ÷ 215
    7470 ÷ 32768     		x = 0.22796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5446 ÷ 215
    5446 ÷ 32768     		y = 0.16619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.5440673828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70923809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16619873046875 × 2 - 1) × π
    0.6676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.0973352321767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70923809} λ = -1.70923809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0973352321767))-π/2
    2×atan(8.14443793394357)-π/2
    2×1.44862463819943-π/2
    2.89724927639885-1.57079632675     		φ = 1.32645295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70923809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32645295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.000156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7470 KachelY 5446 -1.70923809 1.32645295 -97.932129 76.000156
    Oben rechts KachelX + 1 7471 KachelY 5446 -1.70904635 1.32645295 -97.921143 76.000156
    Unten links KachelX 7470 KachelY + 1 5447 -1.70923809 1.32640656 -97.932129 75.997498
    Unten rechts KachelX + 1 7471 KachelY + 1 5447 -1.70904635 1.32640656 -97.921143 75.997498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32645295-1.32640656) × R
    4.63900000000628e-05 × 6371000     		dl = 295.5506900004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32645295-1.32640656) × R
    4.63900000000628e-05 × 6371000     		dr = 295.5506900004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70923809--1.70904635) × cos(1.32645295) × R
    0.000191739999999996 × 0.241919257865066 × 6371000     		do = 295.522648062911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70923809--1.70904635) × cos(1.32640656) × R
    0.000191739999999996 × 0.241964269653992 × 6371000     		du = 295.577633363274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32645295)-sin(1.32640656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241919257865066-0.241964269653992)×R²
    abs(-1.70904635--1.70923809)×4.5011788925603e-05×R²
    0.000191739999999996×4.5011788925603e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.5011788925603e-05×40589641000000     		ar = 87350.0480326251m²