Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7470 / 10637
↖ ↑ ↗
← S 47.234489°
W 15.864258°		 ← 1 658.94 m → S 47.234489°
W 15.842285°		 →
↑
1 658.75 m
↓
↑
1 658.75 m
↓
S 47.249407°
W 15.864258°		 ← 1 658.47 m →
2 751 388 m²		 S 47.249407°
W 15.842285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455963134765625 y=0.649261474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455963134765625 × 214)
    floor (0.455963134765625 × 16384)
    floor (7470.5)     		tx = 7470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649261474609375 × 214)
    floor (0.649261474609375 × 16384)
    floor (10637.5)     		ty = 10637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7470 / 10637 ti = "14/7470/10637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7470/10637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7470 ÷ 214
    7470 ÷ 16384     		x = 0.4559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10637 ÷ 214
    10637 ÷ 16384     		y = 0.64923095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.2984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.937645756568298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27688353} λ = -0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937645756568298))-π/2
    2×atan(0.391548551744152)-π/2
    2×0.373199481088994-π/2
    0.746398962177987-1.57079632675     		φ = -0.82439736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82439736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.234489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7470 KachelY 10637 -0.27688353 -0.82439736 -15.864258 -47.234489
    Oben rechts KachelX + 1 7471 KachelY 10637 -0.27650004 -0.82439736 -15.842285 -47.234489
    Unten links KachelX 7470 KachelY + 1 10638 -0.27688353 -0.82465772 -15.864258 -47.249407
    Unten rechts KachelX + 1 7471 KachelY + 1 10638 -0.27650004 -0.82465772 -15.842285 -47.249407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82439736--0.82465772) × R
    0.000260360000000071 × 6371000     		dl = 1658.75356000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82439736--0.82465772) × R
    0.000260360000000071 × 6371000     		dr = 1658.75356000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27688353--0.27650004) × cos(-0.82439736) × R
    0.000383489999999986 × 0.67899951025509 × 6371000     		do = 1658.94164585793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27688353--0.27650004) × cos(-0.82465772) × R
    0.000383489999999986 × 0.678808346885465 × 6371000     		du = 1658.47459268596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82439736)-sin(-0.82465772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67899951025509-0.678808346885465)×R²
    abs(-0.27650004--0.27688353)×0.000191163369625102×R²
    0.000383489999999986×0.000191163369625102×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191163369625102×40589641000000     		ar = 2751388.01338663m²