Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 747 / 861
↖ ↑ ↗
← N 27.527758°
W 48.691406°		 ← 17.333 km → N 27.527758°
W 48.515625°		 →
↑
17.345 km
↓
↑
17.345 km
↓
N 27.371767°
W 48.691406°		 ← 17.358 km →
300.864 km²		 N 27.371767°
W 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364990234375 y=0.420654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364990234375 × 211)
    floor (0.364990234375 × 2048)
    floor (747.5)     		tx = 747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420654296875 × 211)
    floor (0.420654296875 × 2048)
    floor (861.5)     		ty = 861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 747 / 861 ti = "11/747/861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/747/861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 747 ÷ 211
    747 ÷ 2048     		x = 0.36474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 861 ÷ 211
    861 ÷ 2048     		y = 0.42041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36474609375 × 2 - 1) × π
    -0.2705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84982536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42041015625 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.500077736836426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84982536} λ = -0.84982536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500077736836426))-π/2
    2×atan(1.64884944205761)-π/2
    2×1.02562317159243-π/2
    2.05124634318485-1.57079632675     		φ = 0.48045002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84982536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48045002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.527758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 747 KachelY 861 -0.84982536 0.48045002 -48.691406 27.527758
    Oben rechts KachelX + 1 748 KachelY 861 -0.84675739 0.48045002 -48.515625 27.527758
    Unten links KachelX 747 KachelY + 1 862 -0.84982536 0.47772746 -48.691406 27.371767
    Unten rechts KachelX + 1 748 KachelY + 1 862 -0.84675739 0.47772746 -48.515625 27.371767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48045002-0.47772746) × R
    0.00272255999999998 × 6371000     		dl = 17345.4297599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48045002-0.47772746) × R
    0.00272255999999998 × 6371000     		dr = 17345.4297599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84982536--0.84675739) × cos(0.48045002) × R
    0.00306796999999992 × 0.886787023105504 × 6371000     		do = 17333.1718494573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84982536--0.84675739) × cos(0.47772746) × R
    0.00306796999999992 × 0.88804204310942 × 6371000     		du = 17357.7025167264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48045002)-sin(0.47772746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886787023105504-0.88804204310942)×R²
    abs(-0.84675739--0.84982536)×0.00125502000391586×R²
    0.00306796999999992×0.00125502000391586×6371000²
    0.00306796999999992×0.00125502000391586×40589641000000     		ar = 300864248.157996m²