Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 747 / 851
↖ ↑ ↗
← N 29.075375°
W 48.691406°		 ← 17.083 km → N 29.075375°
W 48.515625°		 →
↑
17.096 km
↓
↑
17.096 km
↓
N 28.921631°
W 48.691406°		 ← 17.108 km →
292.259 km²		 N 28.921631°
W 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364990234375 y=0.415771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364990234375 × 211)
    floor (0.364990234375 × 2048)
    floor (747.5)     		tx = 747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415771484375 × 211)
    floor (0.415771484375 × 2048)
    floor (851.5)     		ty = 851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 747 / 851 ti = "11/747/851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/747/851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 747 ÷ 211
    747 ÷ 2048     		x = 0.36474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 851 ÷ 211
    851 ÷ 2048     		y = 0.41552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36474609375 × 2 - 1) × π
    -0.2705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84982536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41552734375 × 2 - 1) × π
    0.1689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.530757352593262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84982536} λ = -0.84982536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.530757352593262))-π/2
    2×atan(1.70021948677059)-π/2
    2×1.03912867745878-π/2
    2.07825735491757-1.57079632675     		φ = 0.50746103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84982536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50746103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.075375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 747 KachelY 851 -0.84982536 0.50746103 -48.691406 29.075375
    Oben rechts KachelX + 1 748 KachelY 851 -0.84675739 0.50746103 -48.515625 29.075375
    Unten links KachelX 747 KachelY + 1 852 -0.84982536 0.50477769 -48.691406 28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 748 KachelY + 1 852 -0.84675739 0.50477769 -48.515625 28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50746103-0.50477769) × R
    0.00268334000000003 × 6371000     		dl = 17095.5591400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50746103-0.50477769) × R
    0.00268334000000003 × 6371000     		dr = 17095.5591400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84982536--0.84675739) × cos(0.50746103) × R
    0.00306796999999992 × 0.873981160683682 × 6371000     		do = 17082.8679904082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84982536--0.84675739) × cos(0.50477769) × R
    0.00306796999999992 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 17108.2944006221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50746103)-sin(0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873981160683682-0.875282008031053)×R²
    abs(-0.84675739--0.84982536)×0.00130084734737057×R²
    0.00306796999999992×0.00130084734737057×6371000²
    0.00306796999999992×0.00130084734737057×40589641000000     		ar = 292258694.723479m²