Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74698 / 53822
↖ ↑ ↗
← N 30.604822°
E 25.164184°		 ← 262.88 m → N 30.604822°
E 25.166931°		 →
↑
262.87 m
↓
↑
262.87 m
↓
N 30.602458°
E 25.164184°		 ← 262.89 m →
69 103 m²		 N 30.602458°
E 25.166931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569904327392578 y=0.410633087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569904327392578 × 217)
    floor (0.569904327392578 × 131072)
    floor (74698.5)     		tx = 74698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410633087158203 × 217)
    floor (0.410633087158203 × 131072)
    floor (53822.5)     		ty = 53822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74698 / 53822 ti = "17/74698/53822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74698/53822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74698 ÷ 217
    74698 ÷ 131072     		x = 0.569900512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53822 ÷ 217
    53822 ÷ 131072     		y = 0.410629272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569900512695312 × 2 - 1) × π
    0.139801025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43919787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410629272460938 × 2 - 1) × π
    0.178741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.561532842149338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43919787} λ = 0.43919787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.561532842149338))-π/2
    2×atan(1.75335806263998)-π/2
    2×1.05247561840422-π/2
    2.10495123680844-1.57079632675     		φ = 0.53415491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43919787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.164184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53415491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.604822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74698 KachelY 53822 0.43919787 0.53415491 25.164184 30.604822
    Oben rechts KachelX + 1 74699 KachelY 53822 0.43924581 0.53415491 25.166931 30.604822
    Unten links KachelX 74698 KachelY + 1 53823 0.43919787 0.53411365 25.164184 30.602458
    Unten rechts KachelX + 1 74699 KachelY + 1 53823 0.43924581 0.53411365 25.166931 30.602458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53415491-0.53411365) × R
    4.12600000000429e-05 × 6371000     		dl = 262.867460000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53415491-0.53411365) × R
    4.12600000000429e-05 × 6371000     		dr = 262.867460000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43919787-0.43924581) × cos(0.53415491) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860699183595419 × 6371000     		do = 262.879685067159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43919787-0.43924581) × cos(0.53411365) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860720188900367 × 6371000     		du = 262.886100627966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53415491)-sin(0.53411365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860699183595419-0.860720188900367)×R²
    abs(0.43924581-0.43919787)×2.10053049486403e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10053049486403e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10053049486403e-05×40589641000000     		ar = 69103.3583302478m²