Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74698 / 53752
↖ ↑ ↗
← N 30.770159°
E 25.164184°		 ← 262.43 m → N 30.770159°
E 25.166931°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
N 30.767799°
E 25.164184°		 ← 262.44 m →
68 868 m²		 N 30.767799°
E 25.166931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569904327392578 y=0.410099029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569904327392578 × 217)
    floor (0.569904327392578 × 131072)
    floor (74698.5)     		tx = 74698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410099029541016 × 217)
    floor (0.410099029541016 × 131072)
    floor (53752.5)     		ty = 53752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74698 / 53752 ti = "17/74698/53752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74698/53752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74698 ÷ 217
    74698 ÷ 131072     		x = 0.569900512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53752 ÷ 217
    53752 ÷ 131072     		y = 0.41009521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569900512695312 × 2 - 1) × π
    0.139801025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43919787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41009521484375 × 2 - 1) × π
    0.1798095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.564888425122742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43919787} λ = 0.43919787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564888425122742))-π/2
    2×atan(1.75925148350265)-π/2
    2×1.053918457357-π/2
    2.10783691471401-1.57079632675     		φ = 0.53704059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43919787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.164184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53704059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.770159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74698 KachelY 53752 0.43919787 0.53704059 25.164184 30.770159
    Oben rechts KachelX + 1 74699 KachelY 53752 0.43924581 0.53704059 25.166931 30.770159
    Unten links KachelX 74698 KachelY + 1 53753 0.43919787 0.53699940 25.164184 30.767799
    Unten rechts KachelX + 1 74699 KachelY + 1 53753 0.43924581 0.53699940 25.166931 30.767799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53704059-0.53699940) × R
    4.11900000000243e-05 × 6371000     		dl = 262.421490000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53704059-0.53699940) × R
    4.11900000000243e-05 × 6371000     		dr = 262.421490000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43919787-0.43924581) × cos(0.53704059) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859226462388219 × 6371000     		do = 262.429878102636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43919787-0.43924581) × cos(0.53699940) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85924753427518 × 6371000     		du = 262.436313999304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53704059)-sin(0.53699940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859226462388219-0.85924753427518)×R²
    abs(0.43924581-0.43919787)×2.10718869610993e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10718869610993e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10718869610993e-05×40589641000000     		ar = 68868.0841006266m²