Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74696 / 56201
↖ ↑ ↗
← N 24.824132°
E 25.158691°		 ← 277.20 m → N 24.824132°
E 25.161438°		 →
↑
277.20 m
↓
↑
277.20 m
↓
N 24.821639°
E 25.158691°		 ← 277.21 m →
76 843 m²		 N 24.821639°
E 25.161438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569889068603516 y=0.428783416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569889068603516 × 217)
    floor (0.569889068603516 × 131072)
    floor (74696.5)     		tx = 74696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428783416748047 × 217)
    floor (0.428783416748047 × 131072)
    floor (56201.5)     		ty = 56201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74696 / 56201 ti = "17/74696/56201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74696/56201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74696 ÷ 217
    74696 ÷ 131072     		x = 0.56988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56201 ÷ 217
    56201 ÷ 131072     		y = 0.428779602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56988525390625 × 2 - 1) × π
    0.1397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43910200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428779602050781 × 2 - 1) × π
    0.142440795898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.447490957953224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43910200} λ = 0.43910200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447490957953224))-π/2
    2×atan(1.56438215663984)-π/2
    2×1.00202958365289-π/2
    2.00405916730579-1.57079632675     		φ = 0.43326284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43910200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.158691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43326284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.824132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74696 KachelY 56201 0.43910200 0.43326284 25.158691 24.824132
    Oben rechts KachelX + 1 74697 KachelY 56201 0.43914994 0.43326284 25.161438 24.824132
    Unten links KachelX 74696 KachelY + 1 56202 0.43910200 0.43321933 25.158691 24.821639
    Unten rechts KachelX + 1 74697 KachelY + 1 56202 0.43914994 0.43321933 25.161438 24.821639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43326284-0.43321933) × R
    4.35099999999689e-05 × 6371000     		dl = 277.202209999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43326284-0.43321933) × R
    4.35099999999689e-05 × 6371000     		dr = 277.202209999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43910200-0.43914994) × cos(0.43326284) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.907600730882189 × 6371000     		do = 277.204624854373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43910200-0.43914994) × cos(0.43321933) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.907618997017305 × 6371000     		du = 277.210203802207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43326284)-sin(0.43321933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907600730882189-0.907618997017305)×R²
    abs(0.43914994-0.43910200)×1.82661351151303e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82661351151303e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82661351151303e-05×40589641000000     		ar = 76842.5078922804m²