Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74696 / 53823
↖ ↑ ↗
← N 30.602458°
E 25.158691°		 ← 262.89 m → N 30.602458°
E 25.161438°		 →
↑
262.87 m
↓
↑
262.87 m
↓
N 30.600094°
E 25.158691°		 ← 262.89 m →
69 105 m²		 N 30.600094°
E 25.161438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569889068603516 y=0.410640716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569889068603516 × 217)
    floor (0.569889068603516 × 131072)
    floor (74696.5)     		tx = 74696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410640716552734 × 217)
    floor (0.410640716552734 × 131072)
    floor (53823.5)     		ty = 53823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74696 / 53823 ti = "17/74696/53823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74696/53823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74696 ÷ 217
    74696 ÷ 131072     		x = 0.56988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53823 ÷ 217
    53823 ÷ 131072     		y = 0.410636901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56988525390625 × 2 - 1) × π
    0.1397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43910200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410636901855469 × 2 - 1) × π
    0.178726196289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.561484905249718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43910200} λ = 0.43910200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.561484905249718))-π/2
    2×atan(1.75327401410507)-π/2
    2×1.05245498852731-π/2
    2.10490997705461-1.57079632675     		φ = 0.53411365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43910200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.158691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53411365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.602458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74696 KachelY 53823 0.43910200 0.53411365 25.158691 30.602458
    Oben rechts KachelX + 1 74697 KachelY 53823 0.43914994 0.53411365 25.161438 30.602458
    Unten links KachelX 74696 KachelY + 1 53824 0.43910200 0.53407239 25.158691 30.600094
    Unten rechts KachelX + 1 74697 KachelY + 1 53824 0.43914994 0.53407239 25.161438 30.600094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53411365-0.53407239) × R
    4.12600000000429e-05 × 6371000     		dl = 262.867460000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53411365-0.53407239) × R
    4.12600000000429e-05 × 6371000     		dr = 262.867460000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43910200-0.43914994) × cos(0.53411365) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860720188900367 × 6371000     		do = 262.886100627966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43910200-0.43914994) × cos(0.53407239) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860741192740037 × 6371000     		du = 262.89251574124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53411365)-sin(0.53407239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860720188900367-0.860741192740037)×R²
    abs(0.43914994-0.43910200)×2.1003839669409e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1003839669409e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1003839669409e-05×40589641000000     		ar = 69105.0447133619m²