Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74693 / 55694
↖ ↑ ↗
← N 26.081454°
E 25.150452°		 ← 274.32 m → N 26.081454°
E 25.153198°		 →
↑
274.27 m
↓
↑
274.27 m
↓
N 26.078988°
E 25.150452°		 ← 274.33 m →
75 240 m²		 N 26.078988°
E 25.153198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569866180419922 y=0.424915313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569866180419922 × 217)
    floor (0.569866180419922 × 131072)
    floor (74693.5)     		tx = 74693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424915313720703 × 217)
    floor (0.424915313720703 × 131072)
    floor (55694.5)     		ty = 55694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74693 / 55694 ti = "17/74693/55694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74693/55694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74693 ÷ 217
    74693 ÷ 131072     		x = 0.569862365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55694 ÷ 217
    55694 ÷ 131072     		y = 0.424911499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569862365722656 × 2 - 1) × π
    0.139724731445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.43895819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424911499023438 × 2 - 1) × π
    0.150177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.471794966060593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43895819} λ = 0.43895819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471794966060593))-π/2
    2×atan(1.60286870754738)-π/2
    2×1.01300179039722-π/2
    2.02600358079444-1.57079632675     		φ = 0.45520725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43895819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.150452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45520725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.081454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74693 KachelY 55694 0.43895819 0.45520725 25.150452 26.081454
    Oben rechts KachelX + 1 74694 KachelY 55694 0.43900613 0.45520725 25.153198 26.081454
    Unten links KachelX 74693 KachelY + 1 55695 0.43895819 0.45516420 25.150452 26.078988
    Unten rechts KachelX + 1 74694 KachelY + 1 55695 0.43900613 0.45516420 25.153198 26.078988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45520725-0.45516420) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dl = 274.271549999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45520725-0.45516420) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dr = 274.271549999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43895819-0.43900613) × cos(0.45520725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89816993032337 × 6371000     		do = 274.324215614584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43895819-0.43900613) × cos(0.45516420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898188856357663 × 6371000     		du = 274.329996112613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45520725)-sin(0.45516420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89816993032337-0.898188856357663)×R²
    abs(0.43900613-0.43895819)×1.89260342927655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89260342927655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89260342927655e-05×40589641000000     		ar = 75240.120543804m²