Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74691 / 77508
↖ ↑ ↗
← S 31.212801°
E 25.144959°		 ← 261.16 m → S 31.212801°
E 25.147705°		 →
↑
261.21 m
↓
↑
261.21 m
↓
S 31.215150°
E 25.144959°		 ← 261.15 m →
68 217 m²		 S 31.215150°
E 25.147705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569850921630859 y=0.591342926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569850921630859 × 217)
    floor (0.569850921630859 × 131072)
    floor (74691.5)     		tx = 74691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591342926025391 × 217)
    floor (0.591342926025391 × 131072)
    floor (77508.5)     		ty = 77508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74691 / 77508 ti = "17/74691/77508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74691/77508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74691 ÷ 217
    74691 ÷ 131072     		x = 0.569847106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77508 ÷ 217
    77508 ÷ 131072     		y = 0.591339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569847106933594 × 2 - 1) × π
    0.139694213867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.43886232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.18267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.573900562251312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43886232} λ = 0.43886232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573900562251312))-π/2
    2×atan(0.563323867994277)-π/2
    2×0.513015086294813-π/2
    1.02603017258963-1.57079632675     		φ = -0.54476615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43886232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.144959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54476615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.212801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74691 KachelY 77508 0.43886232 -0.54476615 25.144959 -31.212801
    Oben rechts KachelX + 1 74692 KachelY 77508 0.43891025 -0.54476615 25.147705 -31.212801
    Unten links KachelX 74691 KachelY + 1 77509 0.43886232 -0.54480715 25.144959 -31.215150
    Unten rechts KachelX + 1 74692 KachelY + 1 77509 0.43891025 -0.54480715 25.147705 -31.215150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54476615--0.54480715) × R
    4.10000000000688e-05 × 6371000     		dl = 261.211000000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54476615--0.54480715) × R
    4.10000000000688e-05 × 6371000     		dr = 261.211000000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43886232-0.43891025) × cos(-0.54476615) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.855248499468221 × 6371000     		do = 261.16041795223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43886232-0.43891025) × cos(-0.54480715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.855227251807093 × 6371000     		du = 261.153929723295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54476615)-sin(-0.54480715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855248499468221-0.855227251807093)×R²
    abs(0.43891025-0.43886232)×2.12476611277657e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12476611277657e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12476611277657e-05×40589641000000     		ar = 68217.1265450854m²