Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74690 / 77509
↖ ↑ ↗
← S 31.215150°
E 25.142212°		 ← 261.21 m → S 31.215150°
E 25.144959°		 →
↑
261.21 m
↓
↑
261.21 m
↓
S 31.217499°
E 25.142212°		 ← 261.20 m →
68 230 m²		 S 31.217499°
E 25.144959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569843292236328 y=0.591350555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569843292236328 × 217)
    floor (0.569843292236328 × 131072)
    floor (74690.5)     		tx = 74690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591350555419922 × 217)
    floor (0.591350555419922 × 131072)
    floor (77509.5)     		ty = 77509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74690 / 77509 ti = "17/74690/77509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74690/77509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74690 ÷ 217
    74690 ÷ 131072     		x = 0.569839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77509 ÷ 217
    77509 ÷ 131072     		y = 0.591346740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569839477539062 × 2 - 1) × π
    0.139678955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43881438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591346740722656 × 2 - 1) × π
    -0.182693481445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.573948499150932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43881438} λ = 0.43881438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573948499150932))-π/2
    2×atan(0.563296864641797)-π/2
    2×0.512994587568749-π/2
    1.0259891751375-1.57079632675     		φ = -0.54480715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43881438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.142212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54480715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.215150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74690 KachelY 77509 0.43881438 -0.54480715 25.142212 -31.215150
    Oben rechts KachelX + 1 74691 KachelY 77509 0.43886232 -0.54480715 25.144959 -31.215150
    Unten links KachelX 74690 KachelY + 1 77510 0.43881438 -0.54484815 25.142212 -31.217499
    Unten rechts KachelX + 1 74691 KachelY + 1 77510 0.43886232 -0.54484815 25.144959 -31.217499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54480715--0.54484815) × R
    4.09999999999577e-05 × 6371000     		dl = 261.210999999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54480715--0.54484815) × R
    4.09999999999577e-05 × 6371000     		dr = 261.210999999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43881438-0.43886232) × cos(-0.54480715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855227251807093 × 6371000     		do = 261.208416251176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43881438-0.43886232) × cos(-0.54484815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855206002708328 × 6371000     		du = 261.201926229462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54480715)-sin(-0.54484815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855227251807093-0.855206002708328)×R²
    abs(0.43886232-0.43881438)×2.12490987647751e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12490987647751e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12490987647751e-05×40589641000000     		ar = 68229.6639941903m²