Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74690 / 77506
↖ ↑ ↗
← S 31.208104°
E 25.142212°		 ← 261.23 m → S 31.208104°
E 25.144959°		 →
↑
261.21 m
↓
↑
261.21 m
↓
S 31.210453°
E 25.142212°		 ← 261.22 m →
68 235 m²		 S 31.210453°
E 25.144959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569843292236328 y=0.591327667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569843292236328 × 217)
    floor (0.569843292236328 × 131072)
    floor (74690.5)     		tx = 74690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591327667236328 × 217)
    floor (0.591327667236328 × 131072)
    floor (77506.5)     		ty = 77506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74690 / 77506 ti = "17/74690/77506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74690/77506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74690 ÷ 217
    74690 ÷ 131072     		x = 0.569839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77506 ÷ 217
    77506 ÷ 131072     		y = 0.591323852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569839477539062 × 2 - 1) × π
    0.139678955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43881438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591323852539062 × 2 - 1) × π
    -0.182647705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.573804688452072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43881438} λ = 0.43881438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573804688452072))-π/2
    2×atan(0.563377878582763)-π/2
    2×0.51305608527461-π/2
    1.02611217054922-1.57079632675     		φ = -0.54468416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43881438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.142212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54468416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.208104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74690 KachelY 77506 0.43881438 -0.54468416 25.142212 -31.208104
    Oben rechts KachelX + 1 74691 KachelY 77506 0.43886232 -0.54468416 25.144959 -31.208104
    Unten links KachelX 74690 KachelY + 1 77507 0.43881438 -0.54472516 25.142212 -31.210453
    Unten rechts KachelX + 1 74691 KachelY + 1 77507 0.43886232 -0.54472516 25.144959 -31.210453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54468416--0.54472516) × R
    4.10000000000688e-05 × 6371000     		dl = 261.211000000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54468416--0.54472516) × R
    4.10000000000688e-05 × 6371000     		dr = 261.211000000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43881438-0.43886232) × cos(-0.54468416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855290985295943 × 6371000     		do = 261.227882099171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43881438-0.43886232) × cos(-0.54472516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855269740509845 × 6371000     		du = 261.221393394656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54468416)-sin(-0.54472516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855290985295943-0.855269740509845)×R²
    abs(0.43886232-0.43881438)×2.12447860973297e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12447860973297e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12447860973297e-05×40589641000000     		ar = 68234.7488600847m²