Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7469 / 7399
↖ ↑ ↗
← S 80.921494°
E148.227539°		 ← 771.03 m → S 80.921494°
E148.271484°		 →
↑
770.76 m
↓
↑
770.76 m
↓
S 80.928426°
E148.227539°		 ← 770.44 m →
594 055 m²		 S 80.928426°
E148.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91180419921875 y=0.90325927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91180419921875 × 213)
    floor (0.91180419921875 × 8192)
    floor (7469.5)     		tx = 7469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90325927734375 × 213)
    floor (0.90325927734375 × 8192)
    floor (7399.5)     		ty = 7399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7469 / 7399 ti = "13/7469/7399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7469/7399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7469 ÷ 213
    7469 ÷ 8192     		x = 0.9117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7399 ÷ 213
    7399 ÷ 8192     		y = 0.9031982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9117431640625 × 2 - 1) × π
    0.823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58705860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53336927112073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58705860} λ = 2.58705860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53336927112073))-π/2
    2×atan(0.0793910790860886)-π/2
    2×0.0792249078951052-π/2
    0.15844981579021-1.57079632675     		φ = -1.41234651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58705860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41234651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.921494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7469 KachelY 7399 2.58705860 -1.41234651 148.227539 -80.921494
    Oben rechts KachelX + 1 7470 KachelY 7399 2.58782559 -1.41234651 148.271484 -80.921494
    Unten links KachelX 7469 KachelY + 1 7400 2.58705860 -1.41246749 148.227539 -80.928426
    Unten rechts KachelX + 1 7470 KachelY + 1 7400 2.58782559 -1.41246749 148.271484 -80.928426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41234651--1.41246749) × R
    0.000120979999999937 × 6371000     		dl = 770.7635799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41234651--1.41246749) × R
    0.000120979999999937 × 6371000     		dr = 770.7635799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58705860-2.58782559) × cos(-1.41234651) × R
    0.000766989999999801 × 0.157787632646672 × 6371000     		do = 771.028208172745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58705860-2.58782559) × cos(-1.41246749) × R
    0.000766989999999801 × 0.157668167000313 × 6371000     		du = 770.444440093427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41234651)-sin(-1.41246749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157787632646672-0.157668167000313)×R²
    abs(2.58782559-2.58705860)×0.000119465646358924×R²
    0.000766989999999801×0.000119465646358924×6371000²
    0.000766989999999801×0.000119465646358924×40589641000000     		ar = 594055.489149479m²