Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7469 / 7281
↖ ↑ ↗
← S 80.065634°
E148.227539°		 ← 843.02 m → S 80.065634°
E148.271484°		 →
↑
842.69 m
↓
↑
842.69 m
↓
S 80.073212°
E148.227539°		 ← 842.38 m →
710 136 m²		 S 80.073212°
E148.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91180419921875 y=0.88885498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91180419921875 × 213)
    floor (0.91180419921875 × 8192)
    floor (7469.5)     		tx = 7469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88885498046875 × 213)
    floor (0.88885498046875 × 8192)
    floor (7281.5)     		ty = 7281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7469 / 7281 ti = "13/7469/7281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7469/7281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7469 ÷ 213
    7469 ÷ 8192     		x = 0.9117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7281 ÷ 213
    7281 ÷ 8192     		y = 0.8887939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9117431640625 × 2 - 1) × π
    0.823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58705860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8887939453125 × 2 - 1) × π
    -0.777587890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.44286440463806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58705860} λ = 2.58705860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44286440463806))-π/2
    2×atan(0.086911544742917)-π/2
    2×0.0866936990449571-π/2
    0.173387398089914-1.57079632675     		φ = -1.39740893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58705860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39740893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.065634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7469 KachelY 7281 2.58705860 -1.39740893 148.227539 -80.065634
    Oben rechts KachelX + 1 7470 KachelY 7281 2.58782559 -1.39740893 148.271484 -80.065634
    Unten links KachelX 7469 KachelY + 1 7282 2.58705860 -1.39754120 148.227539 -80.073212
    Unten rechts KachelX + 1 7470 KachelY + 1 7282 2.58782559 -1.39754120 148.271484 -80.073212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39740893--1.39754120) × R
    0.000132269999999934 × 6371000     		dl = 842.692169999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39740893--1.39754120) × R
    0.000132269999999934 × 6371000     		dr = 842.692169999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58705860-2.58782559) × cos(-1.39740893) × R
    0.000766989999999801 × 0.172519938725951 × 6371000     		do = 843.017522975351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58705860-2.58782559) × cos(-1.39754120) × R
    0.000766989999999801 × 0.172389650470158 × 6371000     		du = 842.380870287652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39740893)-sin(-1.39754120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172519938725951-0.172389650470158)×R²
    abs(2.58782559-2.58705860)×0.000130288255793115×R²
    0.000766989999999801×0.000130288255793115×6371000²
    0.000766989999999801×0.000130288255793115×40589641000000     		ar = 710136.015701943m²