Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7469 / 4467
↖ ↑ ↗
← N 63.045001°
W 15.886231°		 ← 1 107.52 m → N 63.045001°
W 15.864258°		 →
↑
1 107.66 m
↓
↑
1 107.66 m
↓
N 63.035039°
W 15.886231°		 ← 1 107.89 m →
1 226 962 m²		 N 63.035039°
W 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455902099609375 y=0.272674560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455902099609375 × 214)
    floor (0.455902099609375 × 16384)
    floor (7469.5)     		tx = 7469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272674560546875 × 214)
    floor (0.272674560546875 × 16384)
    floor (4467.5)     		ty = 4467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7469 / 4467 ti = "14/7469/4467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7469/4467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7469 ÷ 214
    7469 ÷ 16384     		x = 0.45587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4467 ÷ 214
    4467 ÷ 16384     		y = 0.27264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.0882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27726703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27264404296875 × 2 - 1) × π
    0.4547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42851960867767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27726703} λ = -0.27726703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42851960867767))-π/2
    2×atan(4.17251765857401)-π/2
    2×1.33556958570932-π/2
    2.67113917141864-1.57079632675     		φ = 1.10034284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27726703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.886231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10034284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.045001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7469 KachelY 4467 -0.27726703 1.10034284 -15.886231 63.045001
    Oben rechts KachelX + 1 7470 KachelY 4467 -0.27688353 1.10034284 -15.864258 63.045001
    Unten links KachelX 7469 KachelY + 1 4468 -0.27726703 1.10016898 -15.886231 63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 7470 KachelY + 1 4468 -0.27688353 1.10016898 -15.864258 63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10034284-1.10016898) × R
    0.000173859999999859 × 6371000     		dl = 1107.6620599991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10034284-1.10016898) × R
    0.000173859999999859 × 6371000     		dr = 1107.6620599991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27726703--0.27688353) × cos(1.10034284) × R
    0.000383500000000037 × 0.453290553242562 × 6371000     		do = 1107.51506299076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27726703--0.27688353) × cos(1.10016898) × R
    0.000383500000000037 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 1107.89368683579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10034284)-sin(1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453290553242562-0.453445518730545)×R²
    abs(-0.27688353--0.27726703)×0.000154965487982217×R²
    0.000383500000000037×0.000154965487982217×6371000²
    0.000383500000000037×0.000154965487982217×40589641000000     		ar = 1226962.11287767m²