Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7469 / 3778
↖ ↑ ↗
← N 69.146920°
W 15.886231°		 ← 869.74 m → N 69.146920°
W 15.864258°		 →
↑
869.83 m
↓
↑
869.83 m
↓
N 69.139097°
W 15.886231°		 ← 870.05 m →
756 665 m²		 N 69.139097°
W 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455902099609375 y=0.230621337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455902099609375 × 214)
    floor (0.455902099609375 × 16384)
    floor (7469.5)     		tx = 7469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230621337890625 × 214)
    floor (0.230621337890625 × 16384)
    floor (3778.5)     		ty = 3778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7469 / 3778 ti = "14/7469/3778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7469/3778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7469 ÷ 214
    7469 ÷ 16384     		x = 0.45587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3778 ÷ 214
    3778 ÷ 16384     		y = 0.2305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.0882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27726703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2305908203125 × 2 - 1) × π
    0.538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69274779938342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27726703} λ = -0.27726703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69274779938342))-π/2
    2×atan(5.43439282925126)-π/2
    2×1.38881887572299-π/2
    2.77763775144598-1.57079632675     		φ = 1.20684142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27726703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.886231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20684142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.146920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7469 KachelY 3778 -0.27726703 1.20684142 -15.886231 69.146920
    Oben rechts KachelX + 1 7470 KachelY 3778 -0.27688353 1.20684142 -15.864258 69.146920
    Unten links KachelX 7469 KachelY + 1 3779 -0.27726703 1.20670489 -15.886231 69.139097
    Unten rechts KachelX + 1 7470 KachelY + 1 3779 -0.27688353 1.20670489 -15.864258 69.139097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20684142-1.20670489) × R
    0.000136530000000024 × 6371000     		dl = 869.83263000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20684142-1.20670489) × R
    0.000136530000000024 × 6371000     		dr = 869.83263000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27726703--0.27688353) × cos(1.20684142) × R
    0.000383500000000037 × 0.355972853325578 × 6371000     		do = 869.740819114122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27726703--0.27688353) × cos(1.20670489) × R
    0.000383500000000037 × 0.356100436786763 × 6371000     		du = 870.052541041789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20684142)-sin(1.20670489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355972853325578-0.356100436786763)×R²
    abs(-0.27688353--0.27726703)×0.000127583461184466×R²
    0.000383500000000037×0.000127583461184466×6371000²
    0.000383500000000037×0.000127583461184466×40589641000000     		ar = 756664.518234706m²