Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7469 / 10642
↖ ↑ ↗
← S 47.309034°
W 15.886231°		 ← 1 656.65 m → S 47.309034°
W 15.864258°		 →
↑
1 656.40 m
↓
↑
1 656.40 m
↓
S 47.323930°
W 15.886231°		 ← 1 656.18 m →
2 743 682 m²		 S 47.323930°
W 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455902099609375 y=0.649566650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455902099609375 × 214)
    floor (0.455902099609375 × 16384)
    floor (7469.5)     		tx = 7469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649566650390625 × 214)
    floor (0.649566650390625 × 16384)
    floor (10642.5)     		ty = 10642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7469 / 10642 ti = "14/7469/10642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7469/10642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7469 ÷ 214
    7469 ÷ 16384     		x = 0.45587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10642 ÷ 214
    10642 ÷ 16384     		y = 0.6495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.0882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27726703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.299072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.939563232553101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27726703} λ = -0.27726703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.939563232553101))-π/2
    2×atan(0.3907984861455)-π/2
    2×0.372548956625574-π/2
    0.745097913251147-1.57079632675     		φ = -0.82569841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27726703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.886231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82569841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.309034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7469 KachelY 10642 -0.27726703 -0.82569841 -15.886231 -47.309034
    Oben rechts KachelX + 1 7470 KachelY 10642 -0.27688353 -0.82569841 -15.864258 -47.309034
    Unten links KachelX 7469 KachelY + 1 10643 -0.27726703 -0.82595840 -15.886231 -47.323930
    Unten rechts KachelX + 1 7470 KachelY + 1 10643 -0.27688353 -0.82595840 -15.864258 -47.323930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82569841--0.82595840) × R
    0.000259989999999988 × 6371000     		dl = 1656.39628999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82569841--0.82595840) × R
    0.000259989999999988 × 6371000     		dr = 1656.39628999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27726703--0.27688353) × cos(-0.82569841) × R
    0.000383500000000037 × 0.678043784656874 × 6371000     		do = 1656.64980111093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27726703--0.27688353) × cos(-0.82595840) × R
    0.000383500000000037 × 0.677852663499477 × 6371000     		du = 1656.18283889616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82569841)-sin(-0.82595840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678043784656874-0.677852663499477)×R²
    abs(-0.27688353--0.27726703)×0.000191121157396945×R²
    0.000383500000000037×0.000191121157396945×6371000²
    0.000383500000000037×0.000191121157396945×40589641000000     		ar = 2743681.86260314m²