Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74689 / 54557
↖ ↑ ↗
← N 28.851891°
E 25.139465°		 ← 267.51 m → N 28.851891°
E 25.142212°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
N 28.849485°
E 25.139465°		 ← 267.52 m →
71 566 m²		 N 28.849485°
E 25.142212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569835662841797 y=0.416240692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569835662841797 × 217)
    floor (0.569835662841797 × 131072)
    floor (74689.5)     		tx = 74689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416240692138672 × 217)
    floor (0.416240692138672 × 131072)
    floor (54557.5)     		ty = 54557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74689 / 54557 ti = "17/74689/54557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74689/54557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74689 ÷ 217
    74689 ÷ 131072     		x = 0.569831848144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54557 ÷ 217
    54557 ÷ 131072     		y = 0.416236877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569831848144531 × 2 - 1) × π
    0.139663696289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43876644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416236877441406 × 2 - 1) × π
    0.167526245117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.526299220928596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43876644} λ = 0.43876644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526299220928596))-π/2
    2×atan(1.69265655523807)-π/2
    2×1.03717840901171-π/2
    2.07435681802342-1.57079632675     		φ = 0.50356049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43876644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.139465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50356049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.851891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74689 KachelY 54557 0.43876644 0.50356049 25.139465 28.851891
    Oben rechts KachelX + 1 74690 KachelY 54557 0.43881438 0.50356049 25.142212 28.851891
    Unten links KachelX 74689 KachelY + 1 54558 0.43876644 0.50351850 25.139465 28.849485
    Unten rechts KachelX + 1 74690 KachelY + 1 54558 0.43881438 0.50351850 25.142212 28.849485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50356049-0.50351850) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dl = 267.518290000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50356049-0.50351850) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dr = 267.518290000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43876644-0.43881438) × cos(0.50356049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875870013070774 × 6371000     		do = 267.513246886085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43876644-0.43881438) × cos(0.50351850) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875890274452065 × 6371000     		du = 267.519435233459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50356049)-sin(0.50351850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875870013070774-0.875890274452065)×R²
    abs(0.43881438-0.43876644)×2.02613812907426e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02613812907426e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02613812907426e-05×40589641000000     		ar = 71565.5141179115m²