Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74687 / 77380
↖ ↑ ↗
← S 30.911651°
E 25.133972°		 ← 262.04 m → S 30.911651°
E 25.136719°		 →
↑
261.98 m
↓
↑
261.98 m
↓
S 30.914007°
E 25.133972°		 ← 262.04 m →
68 648 m²		 S 30.914007°
E 25.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569820404052734 y=0.590366363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569820404052734 × 217)
    floor (0.569820404052734 × 131072)
    floor (74687.5)     		tx = 74687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590366363525391 × 217)
    floor (0.590366363525391 × 131072)
    floor (77380.5)     		ty = 77380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74687 / 77380 ti = "17/74687/77380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74687/77380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74687 ÷ 217
    74687 ÷ 131072     		x = 0.569816589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77380 ÷ 217
    77380 ÷ 131072     		y = 0.590362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569816589355469 × 2 - 1) × π
    0.139633178710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43867057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.18072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.567764639099945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43867057} λ = 0.43867057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567764639099945))-π/2
    2×atan(0.566791006126177)-π/2
    2×0.515643119776282-π/2
    1.03128623955256-1.57079632675     		φ = -0.53951009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43867057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.133972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53951009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.911651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74687 KachelY 77380 0.43867057 -0.53951009 25.133972 -30.911651
    Oben rechts KachelX + 1 74688 KachelY 77380 0.43871851 -0.53951009 25.136719 -30.911651
    Unten links KachelX 74687 KachelY + 1 77381 0.43867057 -0.53955121 25.133972 -30.914007
    Unten rechts KachelX + 1 74688 KachelY + 1 77381 0.43871851 -0.53955121 25.136719 -30.914007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53951009--0.53955121) × R
    4.11199999998946e-05 × 6371000     		dl = 261.975519999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53951009--0.53955121) × R
    4.11199999998946e-05 × 6371000     		dr = 261.975519999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43867057-0.43871851) × cos(-0.53951009) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857960458787316 × 6371000     		do = 262.043208015987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43867057-0.43871851) × cos(-0.53955121) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857939334071165 × 6371000     		du = 262.036755983924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53951009)-sin(-0.53955121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857960458787316-0.857939334071165)×R²
    abs(0.43871851-0.43867057)×2.11247161510109e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11247161510109e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11247161510109e-05×40589641000000     		ar = 68648.0605547882m²