Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74684 / 77367
↖ ↑ ↗
← S 30.881012°
E 25.125733°		 ← 262.07 m → S 30.881012°
E 25.128479°		 →
↑
262.10 m
↓
↑
262.10 m
↓
S 30.883369°
E 25.125733°		 ← 262.07 m →
68 689 m²		 S 30.883369°
E 25.128479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569797515869141 y=0.590267181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569797515869141 × 217)
    floor (0.569797515869141 × 131072)
    floor (74684.5)     		tx = 74684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590267181396484 × 217)
    floor (0.590267181396484 × 131072)
    floor (77367.5)     		ty = 77367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74684 / 77367 ti = "17/74684/77367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74684/77367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74684 ÷ 217
    74684 ÷ 131072     		x = 0.569793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77367 ÷ 217
    77367 ÷ 131072     		y = 0.590263366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569793701171875 × 2 - 1) × π
    0.13958740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43852676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590263366699219 × 2 - 1) × π
    -0.180526733398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.567141459404884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43852676} λ = 0.43852676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567141459404884))-π/2
    2×atan(0.567144328852878)-π/2
    2×0.515910494328512-π/2
    1.03182098865702-1.57079632675     		φ = -0.53897534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43852676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.125733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53897534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.881012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74684 KachelY 77367 0.43852676 -0.53897534 25.125733 -30.881012
    Oben rechts KachelX + 1 74685 KachelY 77367 0.43857469 -0.53897534 25.128479 -30.881012
    Unten links KachelX 74684 KachelY + 1 77368 0.43852676 -0.53901648 25.125733 -30.883369
    Unten rechts KachelX + 1 74685 KachelY + 1 77368 0.43857469 -0.53901648 25.128479 -30.883369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53897534--0.53901648) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dl = 262.102939999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53897534--0.53901648) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dr = 262.102939999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43852676-0.43857469) × cos(-0.53897534) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.858235045590655 × 6371000     		do = 262.072395738562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43852676-0.43857469) × cos(-0.53901648) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.858213929477072 × 6371000     		du = 262.065947679252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53897534)-sin(-0.53901648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858235045590655-0.858213929477072)×R²
    abs(0.43857469-0.43852676)×2.11161135831306e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11161135831306e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11161135831306e-05×40589641000000     		ar = 68689.1003979528m²