Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74684 / 55148
↖ ↑ ↗
← N 27.420538°
E 25.125733°		 ← 271.05 m → N 27.420538°
E 25.128479°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
N 27.418100°
E 25.125733°		 ← 271.06 m →
73 480 m²		 N 27.418100°
E 25.128479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569797515869141 y=0.420749664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569797515869141 × 217)
    floor (0.569797515869141 × 131072)
    floor (74684.5)     		tx = 74684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420749664306641 × 217)
    floor (0.420749664306641 × 131072)
    floor (55148.5)     		ty = 55148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74684 / 55148 ti = "17/74684/55148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74684/55148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74684 ÷ 217
    74684 ÷ 131072     		x = 0.569793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55148 ÷ 217
    55148 ÷ 131072     		y = 0.420745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569793701171875 × 2 - 1) × π
    0.13958740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43852676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420745849609375 × 2 - 1) × π
    0.15850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497968513253143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43852676} λ = 0.43852676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497968513253143))-π/2
    2×atan(1.64537531507241)-π/2
    2×1.02468750009547-π/2
    2.04937500019094-1.57079632675     		φ = 0.47857867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43852676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.125733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47857867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.420538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74684 KachelY 55148 0.43852676 0.47857867 25.125733 27.420538
    Oben rechts KachelX + 1 74685 KachelY 55148 0.43857469 0.47857867 25.128479 27.420538
    Unten links KachelX 74684 KachelY + 1 55149 0.43852676 0.47853612 25.125733 27.418100
    Unten rechts KachelX + 1 74685 KachelY + 1 55149 0.43857469 0.47853612 25.128479 27.418100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47857867-0.47853612) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dl = 271.086049999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47857867-0.47853612) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dr = 271.086049999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43852676-0.43857469) × cos(0.47857867) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887650367209776 × 6371000     		do = 271.054718061275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43852676-0.43857469) × cos(0.47853612) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887669961446997 × 6371000     		du = 271.060701397329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47857867)-sin(0.47853612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887650367209776-0.887669961446997)×R²
    abs(0.43857469-0.43852676)×1.95942372211988e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95942372211988e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95942372211988e-05×40589641000000     		ar = 73479.9638635544m²