Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74683 / 77507
↖ ↑ ↗
← S 31.210453°
E 25.122986°		 ← 261.22 m → S 31.210453°
E 25.125733°		 →
↑
261.15 m
↓
↑
261.15 m
↓
S 31.212801°
E 25.122986°		 ← 261.21 m →
68 216 m²		 S 31.212801°
E 25.125733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569789886474609 y=0.591335296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569789886474609 × 217)
    floor (0.569789886474609 × 131072)
    floor (74683.5)     		tx = 74683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591335296630859 × 217)
    floor (0.591335296630859 × 131072)
    floor (77507.5)     		ty = 77507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74683 / 77507 ti = "17/74683/77507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74683/77507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74683 ÷ 217
    74683 ÷ 131072     		x = 0.569786071777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77507 ÷ 217
    77507 ÷ 131072     		y = 0.591331481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569786071777344 × 2 - 1) × π
    0.139572143554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43847882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591331481933594 × 2 - 1) × π
    -0.182662963867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.573852625351692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43847882} λ = 0.43847882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573852625351692))-π/2
    2×atan(0.563350872641245)-π/2
    2×0.513035585530107-π/2
    1.02607117106021-1.57079632675     		φ = -0.54472516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43847882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.122986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54472516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.210453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74683 KachelY 77507 0.43847882 -0.54472516 25.122986 -31.210453
    Oben rechts KachelX + 1 74684 KachelY 77507 0.43852676 -0.54472516 25.125733 -31.210453
    Unten links KachelX 74683 KachelY + 1 77508 0.43847882 -0.54476615 25.122986 -31.212801
    Unten rechts KachelX + 1 74684 KachelY + 1 77508 0.43852676 -0.54476615 25.125733 -31.212801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54472516--0.54476615) × R
    4.09899999999075e-05 × 6371000     		dl = 261.147289999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54472516--0.54476615) × R
    4.09899999999075e-05 × 6371000     		dr = 261.147289999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43847882-0.43852676) × cos(-0.54472516) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855269740509845 × 6371000     		do = 261.221393394959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43847882-0.43852676) × cos(-0.54476615) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855248499468221 × 6371000     		du = 261.214905834102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54472516)-sin(-0.54476615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855269740509845-0.855248499468221)×R²
    abs(0.43852676-0.43847882)×2.12410416245978e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12410416245978e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12410416245978e-05×40589641000000     		ar = 68216.4118801287m²