Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7468 / 7388
↖ ↑ ↗
← S 80.844901°
E148.183594°		 ← 777.48 m → S 80.844901°
E148.227539°		 →
↑
777.20 m
↓
↑
777.20 m
↓
S 80.851891°
E148.183594°		 ← 776.89 m →
604 026 m²		 S 80.851891°
E148.227539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91168212890625 y=0.90191650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91168212890625 × 213)
    floor (0.91168212890625 × 8192)
    floor (7468.5)     		tx = 7468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90191650390625 × 213)
    floor (0.90191650390625 × 8192)
    floor (7388.5)     		ty = 7388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7468 / 7388 ti = "13/7468/7388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7468/7388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7468 ÷ 213
    7468 ÷ 8192     		x = 0.91162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7388 ÷ 213
    7388 ÷ 8192     		y = 0.90185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91162109375 × 2 - 1) × π
    0.8232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58629161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90185546875 × 2 - 1) × π
    -0.8037109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5249323767876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58629161} λ = 2.58629161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5249323767876))-π/2
    2×atan(0.0800637267700641)-π/2
    2×0.07989330690377-π/2
    0.15978661380754-1.57079632675     		φ = -1.41100971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58629161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41100971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.844901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7468 KachelY 7388 2.58629161 -1.41100971 148.183594 -80.844901
    Oben rechts KachelX + 1 7469 KachelY 7388 2.58705860 -1.41100971 148.227539 -80.844901
    Unten links KachelX 7468 KachelY + 1 7389 2.58629161 -1.41113170 148.183594 -80.851891
    Unten rechts KachelX + 1 7469 KachelY + 1 7389 2.58705860 -1.41113170 148.227539 -80.851891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41100971--1.41113170) × R
    0.000121990000000016 × 6371000     		dl = 777.198290000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41100971--1.41113170) × R
    0.000121990000000016 × 6371000     		dr = 777.198290000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58629161-2.58705860) × cos(-1.41100971) × R
    0.000766990000000245 × 0.159107545266883 × 6371000     		do = 777.477952335242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58629161-2.58705860) × cos(-1.41113170) × R
    0.000766990000000245 × 0.158987108082589 × 6371000     		du = 776.889436842323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41100971)-sin(-1.41113170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159107545266883-0.158987108082589)×R²
    abs(2.58705860-2.58629161)×0.00012043718429397×R²
    0.000766990000000245×0.00012043718429397×6371000²
    0.000766990000000245×0.00012043718429397×40589641000000     		ar = 604025.839199786m²