Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7468 / 7029
↖ ↑ ↗
← N 24.746832°
W 15.908203°		 ← 2 218.85 m → N 24.746832°
W 15.886231°		 →
↑
2 219.08 m
↓
↑
2 219.08 m
↓
N 24.726875°
W 15.908203°		 ← 2 219.20 m →
4 924 197 m²		 N 24.726875°
W 15.886231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455841064453125 y=0.429046630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455841064453125 × 214)
    floor (0.455841064453125 × 16384)
    floor (7468.5)     		tx = 7468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429046630859375 × 214)
    floor (0.429046630859375 × 16384)
    floor (7029.5)     		ty = 7029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7468 / 7029 ti = "14/7468/7029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7468/7029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7468 ÷ 214
    7468 ÷ 16384     		x = 0.455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7029 ÷ 214
    7029 ÷ 16384     		y = 0.42901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.08837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27765052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42901611328125 × 2 - 1) × π
    0.1419677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.446004914065002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27765052} λ = -0.27765052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446004914065002))-π/2
    2×atan(1.56205914257505)-π/2
    2×1.0013550061881-π/2
    2.00271001237619-1.57079632675     		φ = 0.43191369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27765052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43191369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.746832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7468 KachelY 7029 -0.27765052 0.43191369 -15.908203 24.746832
    Oben rechts KachelX + 1 7469 KachelY 7029 -0.27726703 0.43191369 -15.886231 24.746832
    Unten links KachelX 7468 KachelY + 1 7030 -0.27765052 0.43156538 -15.908203 24.726875
    Unten rechts KachelX + 1 7469 KachelY + 1 7030 -0.27726703 0.43156538 -15.886231 24.726875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43191369-0.43156538) × R
    0.000348310000000018 × 6371000     		dl = 2219.08301000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43191369-0.43156538) × R
    0.000348310000000018 × 6371000     		dr = 2219.08301000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27765052--0.27726703) × cos(0.43191369) × R
    0.000383489999999986 × 0.908166324264957 × 6371000     		do = 2218.845395224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27765052--0.27726703) × cos(0.43156538) × R
    0.000383489999999986 × 0.908312075053467 × 6371000     		du = 2219.20149570614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43191369)-sin(0.43156538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908166324264957-0.908312075053467)×R²
    abs(-0.27726703--0.27765052)×0.00014575078850998×R²
    0.000383489999999986×0.00014575078850998×6371000²
    0.000383489999999986×0.00014575078850998×40589641000000     		ar = 4924197.27640757m²