Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74667 / 55995
↖ ↑ ↗
← N 25.336579°
E 25.079041°		 ← 276.05 m → N 25.336579°
E 25.081787°		 →
↑
276.06 m
↓
↑
276.06 m
↓
N 25.334097°
E 25.079041°		 ← 276.05 m →
76 205 m²		 N 25.334097°
E 25.081787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569667816162109 y=0.427211761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569667816162109 × 217)
    floor (0.569667816162109 × 131072)
    floor (74667.5)     		tx = 74667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427211761474609 × 217)
    floor (0.427211761474609 × 131072)
    floor (55995.5)     		ty = 55995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74667 / 55995 ti = "17/74667/55995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74667/55995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74667 ÷ 217
    74667 ÷ 131072     		x = 0.569664001464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55995 ÷ 217
    55995 ÷ 131072     		y = 0.427207946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569664001464844 × 2 - 1) × π
    0.139328002929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43771183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427207946777344 × 2 - 1) × π
    0.145584106445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.457365959274956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43771183} λ = 0.43771183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457365959274956))-π/2
    2×atan(1.57990696007249)-π/2
    2×1.00650152661119-π/2
    2.01300305322238-1.57079632675     		φ = 0.44220673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43771183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.079041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44220673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.336579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74667 KachelY 55995 0.43771183 0.44220673 25.079041 25.336579
    Oben rechts KachelX + 1 74668 KachelY 55995 0.43775977 0.44220673 25.081787 25.336579
    Unten links KachelX 74667 KachelY + 1 55996 0.43771183 0.44216340 25.079041 25.334097
    Unten rechts KachelX + 1 74668 KachelY + 1 55996 0.43775977 0.44216340 25.081787 25.334097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44220673-0.44216340) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dl = 276.055430000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44220673-0.44216340) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dr = 276.055430000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43771183-0.43775977) × cos(0.44220673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903809527672704 × 6371000     		do = 276.046693808305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43771183-0.43775977) × cos(0.44216340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903828069246458 × 6371000     		du = 276.05235688219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44220673)-sin(0.44216340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903809527672704-0.903828069246458)×R²
    abs(0.43775977-0.43771183)×1.85415737544714e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85415737544714e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85415737544714e-05×40589641000000     		ar = 76204.9704324533m²