Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74662 / 77081
↖ ↑ ↗
← S 30.204487°
E 25.065308°		 ← 263.90 m → S 30.204487°
E 25.068054°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
S 30.206861°
E 25.065308°		 ← 263.90 m →
69 657 m²		 S 30.206861°
E 25.068054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569629669189453 y=0.588085174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569629669189453 × 217)
    floor (0.569629669189453 × 131072)
    floor (74662.5)     		tx = 74662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588085174560547 × 217)
    floor (0.588085174560547 × 131072)
    floor (77081.5)     		ty = 77081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74662 / 77081 ti = "17/74662/77081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74662/77081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74662 ÷ 217
    74662 ÷ 131072     		x = 0.569625854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77081 ÷ 217
    77081 ÷ 131072     		y = 0.588081359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569625854492188 × 2 - 1) × π
    0.139251708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43747215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588081359863281 × 2 - 1) × π
    -0.176162719726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.553431506113548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43747215} λ = 0.43747215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553431506113548))-π/2
    2×atan(0.57497339655641)-π/2
    2×0.521814286390699-π/2
    1.0436285727814-1.57079632675     		φ = -0.52716775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43747215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.065308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52716775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.204487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74662 KachelY 77081 0.43747215 -0.52716775 25.065308 -30.204487
    Oben rechts KachelX + 1 74663 KachelY 77081 0.43752008 -0.52716775 25.068054 -30.204487
    Unten links KachelX 74662 KachelY + 1 77082 0.43747215 -0.52720918 25.065308 -30.206861
    Unten rechts KachelX + 1 74663 KachelY + 1 77082 0.43752008 -0.52720918 25.068054 -30.206861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52716775--0.52720918) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52716775--0.52720918) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43747215-0.43752008) × cos(-0.52716775) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.864235404844594 × 6371000     		do = 263.904677621073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43747215-0.43752008) × cos(-0.52720918) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.864214561182319 × 6371000     		du = 263.898312758048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52716775)-sin(-0.52720918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864235404844594-0.864214561182319)×R²
    abs(0.43752008-0.43747215)×2.08436622751718e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.08436622751718e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.08436622751718e-05×40589641000000     		ar = 69656.9395330383m²