Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74660 / 78540
↖ ↑ ↗
← S 33.605470°
E 25.059814°		 ← 254.38 m → S 33.605470°
E 25.062561°		 →
↑
254.39 m
↓
↑
254.39 m
↓
S 33.607757°
E 25.059814°		 ← 254.37 m →
64 712 m²		 S 33.607757°
E 25.062561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569614410400391 y=0.599216461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569614410400391 × 217)
    floor (0.569614410400391 × 131072)
    floor (74660.5)     		tx = 74660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599216461181641 × 217)
    floor (0.599216461181641 × 131072)
    floor (78540.5)     		ty = 78540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74660 / 78540 ti = "17/74660/78540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74660/78540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74660 ÷ 217
    74660 ÷ 131072     		x = 0.569610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78540 ÷ 217
    78540 ÷ 131072     		y = 0.599212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569610595703125 × 2 - 1) × π
    0.13922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43737627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.19842529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.62337144265921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43737627} λ = 0.43737627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62337144265921))-π/2
    2×atan(0.536133842643041)-π/2
    2×0.492135117698345-π/2
    0.984270235396689-1.57079632675     		φ = -0.58652609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43737627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.059814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58652609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.605470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74660 KachelY 78540 0.43737627 -0.58652609 25.059814 -33.605470
    Oben rechts KachelX + 1 74661 KachelY 78540 0.43742421 -0.58652609 25.062561 -33.605470
    Unten links KachelX 74660 KachelY + 1 78541 0.43737627 -0.58656602 25.059814 -33.607757
    Unten rechts KachelX + 1 74661 KachelY + 1 78541 0.43742421 -0.58656602 25.062561 -33.607757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58652609--0.58656602) × R
    3.99300000000213e-05 × 6371000     		dl = 254.394030000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58652609--0.58656602) × R
    3.99300000000213e-05 × 6371000     		dr = 254.394030000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43737627-0.43742421) × cos(-0.58652609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832868409421781 × 6371000     		do = 254.379450270104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43737627-0.43742421) × cos(-0.58656602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832846308658457 × 6371000     		du = 254.372700128111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58652609)-sin(-0.58656602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832868409421781-0.832846308658457)×R²
    abs(0.43742421-0.43737627)×2.21007633244286e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21007633244286e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21007633244286e-05×40589641000000     		ar = 64711.7549140793m²