Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7466 / 7390
↖ ↑ ↗
← S 80.858875°
E148.095703°		 ← 776.30 m → S 80.858875°
E148.139649°		 →
↑
775.99 m
↓
↑
775.99 m
↓
S 80.865854°
E148.095703°		 ← 775.71 m →
602 172 m²		 S 80.865854°
E148.139649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91143798828125 y=0.90216064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91143798828125 × 213)
    floor (0.91143798828125 × 8192)
    floor (7466.5)     		tx = 7466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90216064453125 × 213)
    floor (0.90216064453125 × 8192)
    floor (7390.5)     		ty = 7390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7466 / 7390 ti = "13/7466/7390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7466/7390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7466 ÷ 213
    7466 ÷ 8192     		x = 0.911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7390 ÷ 213
    7390 ÷ 8192     		y = 0.902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911376953125 × 2 - 1) × π
    0.82275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58475763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.80419921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52646635757544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58475763} λ = 2.58475763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52646635757544))-π/2
    2×atan(0.0799410047021078)-π/2
    2×0.0797713653083314-π/2
    0.159542730616663-1.57079632675     		φ = -1.41125360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58475763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41125360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.858875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7466 KachelY 7390 2.58475763 -1.41125360 148.095703 -80.858875
    Oben rechts KachelX + 1 7467 KachelY 7390 2.58552462 -1.41125360 148.139649 -80.858875
    Unten links KachelX 7466 KachelY + 1 7391 2.58475763 -1.41137540 148.095703 -80.865854
    Unten rechts KachelX + 1 7467 KachelY + 1 7391 2.58552462 -1.41137540 148.139649 -80.865854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41125360--1.41137540) × R
    0.000121800000000061 × 6371000     		dl = 775.987800000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41125360--1.41137540) × R
    0.000121800000000061 × 6371000     		dr = 775.987800000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58475763-2.58552462) × cos(-1.41125360) × R
    0.000766990000000245 × 0.158866757389322 × 6371000     		do = 776.301343987229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58475763-2.58552462) × cos(-1.41137540) × R
    0.000766990000000245 × 0.158746503067296 × 6371000     		du = 775.713722049553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41125360)-sin(-1.41137540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158866757389322-0.158746503067296)×R²
    abs(2.58552462-2.58475763)×0.000120254322026475×R²
    0.000766990000000245×0.000120254322026475×6371000²
    0.000766990000000245×0.000120254322026475×40589641000000     		ar = 602172.379071976m²