Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7466 / 5451
↖ ↑ ↗
← N 75.986860°
W 97.976074°		 ← 295.80 m → N 75.986860°
W 97.965088°		 →
↑
295.81 m
↓
↑
295.81 m
↓
N 75.984200°
W 97.976074°		 ← 295.85 m →
87 507 m²		 N 75.984200°
W 97.965088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227859497070312 y=0.166366577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227859497070312 × 215)
    floor (0.227859497070312 × 32768)
    floor (7466.5)     		tx = 7466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166366577148438 × 215)
    floor (0.166366577148438 × 32768)
    floor (5451.5)     		ty = 5451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7466 / 5451 ti = "15/7466/5451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7466/5451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7466 ÷ 215
    7466 ÷ 32768     		x = 0.22784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5451 ÷ 215
    5451 ÷ 32768     		y = 0.166351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.5443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71000508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166351318359375 × 2 - 1) × π
    0.66729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0963764941843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71000508} λ = -1.71000508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0963764941843))-π/2
    2×atan(8.1366332937699)-π/2
    2×1.44850861565128-π/2
    2.89701723130255-1.57079632675     		φ = 1.32622090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71000508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.976074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32622090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.986860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7466 KachelY 5451 -1.71000508 1.32622090 -97.976074 75.986860
    Oben rechts KachelX + 1 7467 KachelY 5451 -1.70981334 1.32622090 -97.965088 75.986860
    Unten links KachelX 7466 KachelY + 1 5452 -1.71000508 1.32617447 -97.976074 75.984200
    Unten rechts KachelX + 1 7467 KachelY + 1 5452 -1.70981334 1.32617447 -97.965088 75.984200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32622090-1.32617447) × R
    4.64300000000417e-05 × 6371000     		dl = 295.805530000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32622090-1.32617447) × R
    4.64300000000417e-05 × 6371000     		dr = 295.805530000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71000508--1.70981334) × cos(1.32622090) × R
    0.000191739999999996 × 0.2421444086256 × 6371000     		do = 295.797686724791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71000508--1.70981334) × cos(1.32617447) × R
    0.000191739999999996 × 0.242189456618018 × 6371000     		du = 295.852716250456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32622090)-sin(1.32617447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2421444086256-0.242189456618018)×R²
    abs(-1.70981334--1.71000508)×4.504799241839e-05×R²
    0.000191739999999996×4.504799241839e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.504799241839e-05×40589641000000     		ar = 87506.7305289286m²