Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7466 / 4466
↖ ↑ ↗
← N 63.054959°
W 15.952148°		 ← 1 107.11 m → N 63.054959°
W 15.930176°		 →
↑
1 107.34 m
↓
↑
1 107.34 m
↓
N 63.045001°
W 15.952148°		 ← 1 107.49 m →
1 226 158 m²		 N 63.045001°
W 15.930176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455718994140625 y=0.272613525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455718994140625 × 214)
    floor (0.455718994140625 × 16384)
    floor (7466.5)     		tx = 7466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272613525390625 × 214)
    floor (0.272613525390625 × 16384)
    floor (4466.5)     		ty = 4466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7466 / 4466 ti = "14/7466/4466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7466/4466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7466 ÷ 214
    7466 ÷ 16384     		x = 0.4556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4466 ÷ 214
    4466 ÷ 16384     		y = 0.2725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27841751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2725830078125 × 2 - 1) × π
    0.454833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42890310387463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27841751} λ = -0.27841751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42890310387463))-π/2
    2×atan(4.17411810591762)-π/2
    2×1.33565648822915-π/2
    2.67131297645831-1.57079632675     		φ = 1.10051665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27841751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.952148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10051665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.054959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7466 KachelY 4466 -0.27841751 1.10051665 -15.952148 63.054959
    Oben rechts KachelX + 1 7467 KachelY 4466 -0.27803402 1.10051665 -15.930176 63.054959
    Unten links KachelX 7466 KachelY + 1 4467 -0.27841751 1.10034284 -15.952148 63.045001
    Unten rechts KachelX + 1 7467 KachelY + 1 4467 -0.27803402 1.10034284 -15.930176 63.045001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10051665-1.10034284) × R
    0.000173810000000163 × 6371000     		dl = 1107.34351000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10051665-1.10034284) × R
    0.000173810000000163 × 6371000     		dr = 1107.34351000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27841751--0.27803402) × cos(1.10051665) × R
    0.000383489999999986 × 0.453135618624911 × 6371000     		do = 1107.10764530014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27841751--0.27803402) × cos(1.10034284) × R
    0.000383489999999986 × 0.453290553242562 × 6371000     		du = 1107.48618384947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10051665)-sin(1.10034284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453135618624911-0.453290553242562)×R²
    abs(-0.27803402--0.27841751)×0.000154934617651703×R²
    0.000383489999999986×0.000154934617651703×6371000²
    0.000383489999999986×0.000154934617651703×40589641000000     		ar = 1226158.05508636m²