Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7466 / 3777
↖ ↑ ↗
← N 69.154740°
W 15.952148°		 ← 869.41 m → N 69.154740°
W 15.930176°		 →
↑
869.58 m
↓
↑
869.58 m
↓
N 69.146920°
W 15.952148°		 ← 869.72 m →
756 152 m²		 N 69.146920°
W 15.930176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455718994140625 y=0.230560302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455718994140625 × 214)
    floor (0.455718994140625 × 16384)
    floor (7466.5)     		tx = 7466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230560302734375 × 214)
    floor (0.230560302734375 × 16384)
    floor (3777.5)     		ty = 3777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7466 / 3777 ti = "14/7466/3777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7466/3777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7466 ÷ 214
    7466 ÷ 16384     		x = 0.4556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3777 ÷ 214
    3777 ÷ 16384     		y = 0.23052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27841751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23052978515625 × 2 - 1) × π
    0.5389404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69313129458038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27841751} λ = -0.27841751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69313129458038))-π/2
    2×atan(5.43647729246494)-π/2
    2×1.38888712043237-π/2
    2.77777424086474-1.57079632675     		φ = 1.20697791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27841751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.952148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20697791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.154740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7466 KachelY 3777 -0.27841751 1.20697791 -15.952148 69.154740
    Oben rechts KachelX + 1 7467 KachelY 3777 -0.27803402 1.20697791 -15.930176 69.154740
    Unten links KachelX 7466 KachelY + 1 3778 -0.27841751 1.20684142 -15.952148 69.146920
    Unten rechts KachelX + 1 7467 KachelY + 1 3778 -0.27803402 1.20684142 -15.930176 69.146920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20697791-1.20684142) × R
    0.000136490000000045 × 6371000     		dl = 869.577790000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20697791-1.20684142) × R
    0.000136490000000045 × 6371000     		dr = 869.577790000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27841751--0.27803402) × cos(1.20697791) × R
    0.000383489999999986 × 0.355845300610698 × 6371000     		do = 869.406501404022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27841751--0.27803402) × cos(1.20684142) × R
    0.000383489999999986 × 0.355972853325578 × 6371000     		du = 869.718140083522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20697791)-sin(1.20684142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355845300610698-0.355972853325578)×R²
    abs(-0.27803402--0.27841751)×0.000127552714880186×R²
    0.000383489999999986×0.000127552714880186×6371000²
    0.000383489999999986×0.000127552714880186×40589641000000     		ar = 756152.082313729m²