Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74659 / 77549
↖ ↑ ↗
← S 31.309062°
E 25.057068°		 ← 260.89 m → S 31.309062°
E 25.059814°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
S 31.311408°
E 25.057068°		 ← 260.89 m →
68 081 m²		 S 31.311408°
E 25.059814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569606781005859 y=0.591655731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569606781005859 × 217)
    floor (0.569606781005859 × 131072)
    floor (74659.5)     		tx = 74659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591655731201172 × 217)
    floor (0.591655731201172 × 131072)
    floor (77549.5)     		ty = 77549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74659 / 77549 ti = "17/74659/77549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74659/77549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74659 ÷ 217
    74659 ÷ 131072     		x = 0.569602966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77549 ÷ 217
    77549 ÷ 131072     		y = 0.591651916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569602966308594 × 2 - 1) × π
    0.139205932617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.43732834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591651916503906 × 2 - 1) × π
    -0.183303833007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.575865975135735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43732834} λ = 0.43732834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575865975135735))-π/2
    2×atan(0.562217791310751)-π/2
    2×0.512175056345456-π/2
    1.02435011269091-1.57079632675     		φ = -0.54644621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43732834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.057068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54644621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.309062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74659 KachelY 77549 0.43732834 -0.54644621 25.057068 -31.309062
    Oben rechts KachelX + 1 74660 KachelY 77549 0.43737627 -0.54644621 25.059814 -31.309062
    Unten links KachelX 74659 KachelY + 1 77550 0.43732834 -0.54648717 25.057068 -31.311408
    Unten rechts KachelX + 1 74660 KachelY + 1 77550 0.43737627 -0.54648717 25.059814 -31.311408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54644621--0.54648717) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54644621--0.54648717) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43732834-0.43737627) × cos(-0.54644621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.854376655356014 × 6371000     		do = 260.894189864283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43732834-0.43737627) × cos(-0.54648717) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.854355369601583 × 6371000     		du = 260.887690003099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54644621)-sin(-0.54648717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854376655356014-0.854355369601583)×R²
    abs(0.43737627-0.43732834)×2.12857544318323e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12857544318323e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12857544318323e-05×40589641000000     		ar = 68081.0978735105m²