Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74659 / 55269
↖ ↑ ↗
← N 27.125147°
E 25.057068°		 ← 271.78 m → N 27.125147°
E 25.059814°		 →
↑
271.85 m
↓
↑
271.85 m
↓
N 27.122702°
E 25.057068°		 ← 271.78 m →
73 883 m²		 N 27.122702°
E 25.059814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569606781005859 y=0.421672821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569606781005859 × 217)
    floor (0.569606781005859 × 131072)
    floor (74659.5)     		tx = 74659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421672821044922 × 217)
    floor (0.421672821044922 × 131072)
    floor (55269.5)     		ty = 55269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74659 / 55269 ti = "17/74659/55269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74659/55269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74659 ÷ 217
    74659 ÷ 131072     		x = 0.569602966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55269 ÷ 217
    55269 ÷ 131072     		y = 0.421669006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569602966308594 × 2 - 1) × π
    0.139205932617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.43732834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421669006347656 × 2 - 1) × π
    0.156661987304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.492168148399117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43732834} λ = 0.43732834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492168148399117))-π/2
    2×atan(1.63585916317996)-π/2
    2×1.02210972218847-π/2
    2.04421944437694-1.57079632675     		φ = 0.47342312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43732834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.057068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47342312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.125147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74659 KachelY 55269 0.43732834 0.47342312 25.057068 27.125147
    Oben rechts KachelX + 1 74660 KachelY 55269 0.43737627 0.47342312 25.059814 27.125147
    Unten links KachelX 74659 KachelY + 1 55270 0.43732834 0.47338045 25.057068 27.122702
    Unten rechts KachelX + 1 74660 KachelY + 1 55270 0.43737627 0.47338045 25.059814 27.122702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47342312-0.47338045) × R
    4.26699999999669e-05 × 6371000     		dl = 271.850569999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47342312-0.47338045) × R
    4.26699999999669e-05 × 6371000     		dr = 271.850569999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43732834-0.43737627) × cos(0.47342312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890012783539469 × 6371000     		do = 271.776110307729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43732834-0.43737627) × cos(0.47338045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890032237500052 × 6371000     		du = 271.782050808624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47342312)-sin(0.47338045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890012783539469-0.890032237500052)×R²
    abs(0.43737627-0.43732834)×1.94539605835597e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94539605835597e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94539605835597e-05×40589641000000     		ar = 73883.2979749872m²