Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74657 / 77014
↖ ↑ ↗
← S 30.045322°
E 25.051575°		 ← 264.39 m → S 30.045322°
E 25.054321°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
S 30.047699°
E 25.051575°		 ← 264.38 m →
69 885 m²		 S 30.047699°
E 25.054321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569591522216797 y=0.587574005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569591522216797 × 217)
    floor (0.569591522216797 × 131072)
    floor (74657.5)     		tx = 74657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587574005126953 × 217)
    floor (0.587574005126953 × 131072)
    floor (77014.5)     		ty = 77014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74657 / 77014 ti = "17/74657/77014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74657/77014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74657 ÷ 217
    74657 ÷ 131072     		x = 0.569587707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77014 ÷ 217
    77014 ÷ 131072     		y = 0.587570190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569587707519531 × 2 - 1) × π
    0.139175415039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43723246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587570190429688 × 2 - 1) × π
    -0.175140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.550219733839005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43723246} λ = 0.43723246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550219733839005))-π/2
    2×atan(0.576823048911141)-π/2
    2×0.52320327011889-π/2
    1.04640654023778-1.57079632675     		φ = -0.52438979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43723246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.051575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52438979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.045322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74657 KachelY 77014 0.43723246 -0.52438979 25.051575 -30.045322
    Oben rechts KachelX + 1 74658 KachelY 77014 0.43728040 -0.52438979 25.054321 -30.045322
    Unten links KachelX 74657 KachelY + 1 77015 0.43723246 -0.52443128 25.051575 -30.047699
    Unten rechts KachelX + 1 74658 KachelY + 1 77015 0.43728040 -0.52443128 25.054321 -30.047699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52438979--0.52443128) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dl = 264.332790000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52438979--0.52443128) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dr = 264.332790000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43723246-0.43728040) × cos(-0.52438979) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.865629625687161 × 6371000     		do = 264.385568991557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43723246-0.43728040) × cos(-0.52443128) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.865608851526354 × 6371000     		du = 264.37922402812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52438979)-sin(-0.52443128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865629625687161-0.865608851526354)×R²
    abs(0.43728040-0.43723246)×2.07741608072576e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.07741608072576e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.07741608072576e-05×40589641000000     		ar = 69884.9365063939m²