Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74656 / 77537
↖ ↑ ↗
← S 31.280898°
E 25.048828°		 ← 261.03 m → S 31.280898°
E 25.051575°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
S 31.283245°
E 25.048828°		 ← 261.02 m →
68 116 m²		 S 31.283245°
E 25.051575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569583892822266 y=0.591564178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569583892822266 × 217)
    floor (0.569583892822266 × 131072)
    floor (74656.5)     		tx = 74656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591564178466797 × 217)
    floor (0.591564178466797 × 131072)
    floor (77537.5)     		ty = 77537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74656 / 77537 ti = "17/74656/77537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74656/77537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74656 ÷ 217
    74656 ÷ 131072     		x = 0.569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77537 ÷ 217
    77537 ÷ 131072     		y = 0.591560363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569580078125 × 2 - 1) × π
    0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591560363769531 × 2 - 1) × π
    -0.183120727539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.575290732340294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43718452} λ = 0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575290732340294))-π/2
    2×atan(0.562541296082645)-π/2
    2×0.512420830075157-π/2
    1.02484166015031-1.57079632675     		φ = -0.54595467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54595467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.280898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74656 KachelY 77537 0.43718452 -0.54595467 25.048828 -31.280898
    Oben rechts KachelX + 1 74657 KachelY 77537 0.43723246 -0.54595467 25.051575 -31.280898
    Unten links KachelX 74656 KachelY + 1 77538 0.43718452 -0.54599563 25.048828 -31.283245
    Unten rechts KachelX + 1 74657 KachelY + 1 77538 0.43723246 -0.54599563 25.051575 -31.283245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54595467--0.54599563) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54595467--0.54599563) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43718452-0.43723246) × cos(-0.54595467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854631982977989 × 6371000     		do = 261.026605828549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43718452-0.43723246) × cos(-0.54599563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854610714427488 × 6371000     		du = 261.020109865773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54595467)-sin(-0.54599563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854631982977989-0.854610714427488)×R²
    abs(0.43723246-0.43718452)×2.12685505014409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12685505014409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12685505014409e-05×40589641000000     		ar = 68115.6531436155m²