Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74654 / 55147
↖ ↑ ↗
← N 27.422976°
E 25.043335°		 ← 271.11 m → N 27.422976°
E 25.046082°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
N 27.420538°
E 25.043335°		 ← 271.11 m →
73 494 m²		 N 27.420538°
E 25.046082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569568634033203 y=0.420742034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569568634033203 × 217)
    floor (0.569568634033203 × 131072)
    floor (74654.5)     		tx = 74654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420742034912109 × 217)
    floor (0.420742034912109 × 131072)
    floor (55147.5)     		ty = 55147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74654 / 55147 ti = "17/74654/55147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74654/55147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74654 ÷ 217
    74654 ÷ 131072     		x = 0.569564819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55147 ÷ 217
    55147 ÷ 131072     		y = 0.420738220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569564819335938 × 2 - 1) × π
    0.139129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43708865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420738220214844 × 2 - 1) × π
    0.158523559570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.498016450152763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43708865} λ = 0.43708865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498016450152763))-π/2
    2×atan(1.64545419115425)-π/2
    2×1.02470877546387-π/2
    2.04941755092773-1.57079632675     		φ = 0.47862122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43708865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.043335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47862122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.422976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74654 KachelY 55147 0.43708865 0.47862122 25.043335 27.422976
    Oben rechts KachelX + 1 74655 KachelY 55147 0.43713659 0.47862122 25.046082 27.422976
    Unten links KachelX 74654 KachelY + 1 55148 0.43708865 0.47857867 25.043335 27.420538
    Unten rechts KachelX + 1 74655 KachelY + 1 55148 0.43713659 0.47857867 25.046082 27.420538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47862122-0.47857867) × R
    4.25500000000301e-05 × 6371000     		dl = 271.086050000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47862122-0.47857867) × R
    4.25500000000301e-05 × 6371000     		dr = 271.086050000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43708865-0.43713659) × cos(0.47862122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887630771365461 × 6371000     		do = 271.105285190889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43708865-0.43713659) × cos(0.47857867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887650367209776 × 6371000     		du = 271.11127026614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47862122)-sin(0.47857867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887630771365461-0.887650367209776)×R²
    abs(0.43713659-0.43708865)×1.95958443145461e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95958443145461e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95958443145461e-05×40589641000000     		ar = 73493.6721429092m²