Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74653 / 55265
↖ ↑ ↗
← N 27.134924°
E 25.040588°		 ← 271.81 m → N 27.134924°
E 25.043335°		 →
↑
271.79 m
↓
↑
271.79 m
↓
N 27.132480°
E 25.040588°		 ← 271.81 m →
73 875 m²		 N 27.132480°
E 25.043335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569561004638672 y=0.421642303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569561004638672 × 217)
    floor (0.569561004638672 × 131072)
    floor (74653.5)     		tx = 74653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421642303466797 × 217)
    floor (0.421642303466797 × 131072)
    floor (55265.5)     		ty = 55265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74653 / 55265 ti = "17/74653/55265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74653/55265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74653 ÷ 217
    74653 ÷ 131072     		x = 0.569557189941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55265 ÷ 217
    55265 ÷ 131072     		y = 0.421638488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569557189941406 × 2 - 1) × π
    0.139114379882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43704071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421638488769531 × 2 - 1) × π
    0.156723022460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.492359895997597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43704071} λ = 0.43704071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492359895997597))-π/2
    2×atan(1.63617286532081)-π/2
    2×1.02219504736528-π/2
    2.04439009473056-1.57079632675     		φ = 0.47359377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43704071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.040588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47359377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.134924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74653 KachelY 55265 0.43704071 0.47359377 25.040588 27.134924
    Oben rechts KachelX + 1 74654 KachelY 55265 0.43708865 0.47359377 25.043335 27.134924
    Unten links KachelX 74653 KachelY + 1 55266 0.43704071 0.47355111 25.040588 27.132480
    Unten rechts KachelX + 1 74654 KachelY + 1 55266 0.43708865 0.47355111 25.043335 27.132480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47359377-0.47355111) × R
    4.26600000000277e-05 × 6371000     		dl = 271.786860000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47359377-0.47355111) × R
    4.26600000000277e-05 × 6371000     		dr = 271.786860000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43704071-0.43708865) × cos(0.47359377) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.889934965175393 × 6371000     		do = 271.809045290705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43704071-0.43708865) × cos(0.47355111) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.889954421056018 × 6371000     		du = 271.814987617442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47359377)-sin(0.47355111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889934965175393-0.889954421056018)×R²
    abs(0.43708865-0.43704071)×1.94558806250189e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94558806250189e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94558806250189e-05×40589641000000     		ar = 73874.9344735688m²