Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74652 / 55146
↖ ↑ ↗
← N 27.425414°
E 25.037842°		 ← 271.04 m → N 27.425414°
E 25.040588°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
N 27.422976°
E 25.037842°		 ← 271.05 m →
73 477 m²		 N 27.422976°
E 25.040588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569553375244141 y=0.420734405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569553375244141 × 217)
    floor (0.569553375244141 × 131072)
    floor (74652.5)     		tx = 74652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420734405517578 × 217)
    floor (0.420734405517578 × 131072)
    floor (55146.5)     		ty = 55146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74652 / 55146 ti = "17/74652/55146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74652/55146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74652 ÷ 217
    74652 ÷ 131072     		x = 0.569549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55146 ÷ 217
    55146 ÷ 131072     		y = 0.420730590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569549560546875 × 2 - 1) × π
    0.13909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43699278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420730590820312 × 2 - 1) × π
    0.158538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.498064387052383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43699278} λ = 0.43699278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498064387052383))-π/2
    2×atan(1.64553307101725)-π/2
    2×1.02473005036256-π/2
    2.04946010072511-1.57079632675     		φ = 0.47866377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43699278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.037842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47866377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.425414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74652 KachelY 55146 0.43699278 0.47866377 25.037842 27.425414
    Oben rechts KachelX + 1 74653 KachelY 55146 0.43704071 0.47866377 25.040588 27.425414
    Unten links KachelX 74652 KachelY + 1 55147 0.43699278 0.47862122 25.037842 27.422976
    Unten rechts KachelX + 1 74653 KachelY + 1 55147 0.43704071 0.47862122 25.040588 27.422976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47866377-0.47862122) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dl = 271.086049999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47866377-0.47862122) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dr = 271.086049999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43699278-0.43704071) × cos(0.47866377) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887611173914089 × 6371000     		do = 271.042749916941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43699278-0.43704071) × cos(0.47862122) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.887630771365461 × 6371000     		du = 271.048734234475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47866377)-sin(0.47862122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887611173914089-0.887630771365461)×R²
    abs(0.43704071-0.43699278)×1.95974513722552e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95974513722552e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95974513722552e-05×40589641000000     		ar = 73476.7195996521m²