Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7465 / 7419
↖ ↑ ↗
← S 81.059130°
E148.051758°		 ← 759.43 m → S 81.059130°
E148.095703°		 →
↑
759.17 m
↓
↑
759.17 m
↓
S 81.065957°
E148.051758°		 ← 758.86 m →
576 320 m²		 S 81.065957°
E148.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91131591796875 y=0.90570068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91131591796875 × 213)
    floor (0.91131591796875 × 8192)
    floor (7465.5)     		tx = 7465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90570068359375 × 213)
    floor (0.90570068359375 × 8192)
    floor (7419.5)     		ty = 7419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7465 / 7419 ti = "13/7465/7419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7465/7419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7465 ÷ 213
    7465 ÷ 8192     		x = 0.9112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7419 ÷ 213
    7419 ÷ 8192     		y = 0.9056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9112548828125 × 2 - 1) × π
    0.822509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58399064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.811279296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54870907899915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58399064} λ = 2.58399064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54870907899915))-π/2
    2×atan(0.0781825283522323)-π/2
    2×0.0780238129331857-π/2
    0.156047625866371-1.57079632675     		φ = -1.41474870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58399064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41474870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.059130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7465 KachelY 7419 2.58399064 -1.41474870 148.051758 -81.059130
    Oben rechts KachelX + 1 7466 KachelY 7419 2.58475763 -1.41474870 148.095703 -81.059130
    Unten links KachelX 7465 KachelY + 1 7420 2.58399064 -1.41486786 148.051758 -81.065957
    Unten rechts KachelX + 1 7466 KachelY + 1 7420 2.58475763 -1.41486786 148.095703 -81.065957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41474870--1.41486786) × R
    0.000119159999999896 × 6371000     		dl = 759.168359999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41474870--1.41486786) × R
    0.000119159999999896 × 6371000     		dr = 759.168359999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58399064-2.58475763) × cos(-1.41474870) × R
    0.000766989999999801 × 0.155415081737352 × 6371000     		do = 759.434754074175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58399064-2.58475763) × cos(-1.41486786) × R
    0.000766989999999801 × 0.155297368516921 × 6371000     		du = 758.859549212395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41474870)-sin(-1.41486786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155415081737352-0.155297368516921)×R²
    abs(2.58475763-2.58399064)×0.000117713220431109×R²
    0.000766989999999801×0.000117713220431109×6371000²
    0.000766989999999801×0.000117713220431109×40589641000000     		ar = 576320.498792645m²