Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7465 / 7397
↖ ↑ ↗
← S 80.907615°
E148.051758°		 ← 772.20 m → S 80.907615°
E148.095703°		 →
↑
771.91 m
↓
↑
771.91 m
↓
S 80.914557°
E148.051758°		 ← 771.61 m →
595 841 m²		 S 80.914557°
E148.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91131591796875 y=0.90301513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91131591796875 × 213)
    floor (0.91131591796875 × 8192)
    floor (7465.5)     		tx = 7465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90301513671875 × 213)
    floor (0.90301513671875 × 8192)
    floor (7397.5)     		ty = 7397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7465 / 7397 ti = "13/7465/7397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7465/7397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7465 ÷ 213
    7465 ÷ 8192     		x = 0.9112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7397 ÷ 213
    7397 ÷ 8192     		y = 0.9029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9112548828125 × 2 - 1) × π
    0.822509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58399064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53183529033289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58399064} λ = 2.58399064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53183529033289))-π/2
    2×atan(0.0795129569313701)-π/2
    2×0.0793460211976014-π/2
    0.158692042395203-1.57079632675     		φ = -1.41210428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58399064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41210428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.907615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7465 KachelY 7397 2.58399064 -1.41210428 148.051758 -80.907615
    Oben rechts KachelX + 1 7466 KachelY 7397 2.58475763 -1.41210428 148.095703 -80.907615
    Unten links KachelX 7465 KachelY + 1 7398 2.58399064 -1.41222544 148.051758 -80.914557
    Unten rechts KachelX + 1 7466 KachelY + 1 7398 2.58475763 -1.41222544 148.095703 -80.914557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41210428--1.41222544) × R
    0.000121159999999954 × 6371000     		dl = 771.910359999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41210428--1.41222544) × R
    0.000121159999999954 × 6371000     		dr = 771.910359999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58399064-2.58475763) × cos(-1.41210428) × R
    0.000766989999999801 × 0.158026823616833 × 6371000     		do = 772.197013243467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58399064-2.58475763) × cos(-1.41222544) × R
    0.000766989999999801 × 0.157907184854482 × 6371000     		du = 771.612399234018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41210428)-sin(-1.41222544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158026823616833-0.157907184854482)×R²
    abs(2.58475763-2.58399064)×0.00011963876235041×R²
    0.000766989999999801×0.00011963876235041×6371000²
    0.000766989999999801×0.00011963876235041×40589641000000     		ar = 595841.240407426m²