Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74646 / 90773
↖ ↑ ↗
← S 56.784332°
E 25.021363°		 ← 167.27 m → S 56.784332°
E 25.024109°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
S 56.785836°
E 25.021363°		 ← 167.27 m →
27 985 m²		 S 56.785836°
E 25.024109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569507598876953 y=0.692546844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569507598876953 × 217)
    floor (0.569507598876953 × 131072)
    floor (74646.5)     		tx = 74646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692546844482422 × 217)
    floor (0.692546844482422 × 131072)
    floor (90773.5)     		ty = 90773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74646 / 90773 ti = "17/74646/90773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74646/90773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74646 ÷ 217
    74646 ÷ 131072     		x = 0.569503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90773 ÷ 217
    90773 ÷ 131072     		y = 0.692543029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569503784179688 × 2 - 1) × π
    0.139007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43670516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692543029785156 × 2 - 1) × π
    -0.385086059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.20978353571136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43670516} λ = 0.43670516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20978353571136))-π/2
    2×atan(0.298261835478642)-π/2
    2×0.28986138624739-π/2
    0.57972277249478-1.57079632675     		φ = -0.99107355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43670516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.021363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99107355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.784332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74646 KachelY 90773 0.43670516 -0.99107355 25.021363 -56.784332
    Oben rechts KachelX + 1 74647 KachelY 90773 0.43675309 -0.99107355 25.024109 -56.784332
    Unten links KachelX 74646 KachelY + 1 90774 0.43670516 -0.99109981 25.021363 -56.785836
    Unten rechts KachelX + 1 74647 KachelY + 1 90774 0.43675309 -0.99109981 25.024109 -56.785836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99107355--0.99109981) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dl = 167.302460000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99107355--0.99109981) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dr = 167.302460000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43670516-0.43675309) × cos(-0.99107355) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.547792028879524 × 6371000     		do = 167.274885956572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43670516-0.43675309) × cos(-0.99109981) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.547770059192759 × 6371000     		du = 167.268177248424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99107355)-sin(-0.99109981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547792028879524-0.547770059192759)×R²
    abs(0.43675309-0.43670516)×2.19696867647112e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19696867647112e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19696867647112e-05×40589641000000     		ar = 27984.9387266402m²