Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74643 / 55763
↖ ↑ ↗
← N 25.911115°
E 25.013122°		 ← 274.72 m → N 25.911115°
E 25.015869°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
N 25.908644°
E 25.013122°		 ← 274.73 m →
75 472 m²		 N 25.908644°
E 25.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569484710693359 y=0.425441741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569484710693359 × 217)
    floor (0.569484710693359 × 131072)
    floor (74643.5)     		tx = 74643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425441741943359 × 217)
    floor (0.425441741943359 × 131072)
    floor (55763.5)     		ty = 55763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74643 / 55763 ti = "17/74643/55763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74643/55763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74643 ÷ 217
    74643 ÷ 131072     		x = 0.569480895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55763 ÷ 217
    55763 ÷ 131072     		y = 0.425437927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569480895996094 × 2 - 1) × π
    0.138961791992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.43656134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425437927246094 × 2 - 1) × π
    0.149124145507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.468487319986809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43656134} λ = 0.43656134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468487319986809))-π/2
    2×atan(1.59757574361141)-π/2
    2×1.01151529789781-π/2
    2.02303059579562-1.57079632675     		φ = 0.45223427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43656134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.013122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45223427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.911115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74643 KachelY 55763 0.43656134 0.45223427 25.013122 25.911115
    Oben rechts KachelX + 1 74644 KachelY 55763 0.43660928 0.45223427 25.015869 25.911115
    Unten links KachelX 74643 KachelY + 1 55764 0.43656134 0.45219115 25.013122 25.908644
    Unten rechts KachelX + 1 74644 KachelY + 1 55764 0.43660928 0.45219115 25.015869 25.908644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45223427-0.45219115) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dl = 274.717520000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45223427-0.45219115) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dr = 274.717520000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43656134-0.43660928) × cos(0.45223427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899473025219216 × 6371000     		do = 274.722214337438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43656134-0.43660928) × cos(0.45219115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899491866800569 × 6371000     		du = 274.727969041365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45223427)-sin(0.45219115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899473025219216-0.899491866800569)×R²
    abs(0.43660928-0.43656134)×1.8841581353235e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8841581353235e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8841581353235e-05×40589641000000     		ar = 75471.7958824032m²