Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74642 / 56714
↖ ↑ ↗
← N 23.538809°
E 25.010376°		 ← 279.95 m → N 23.538809°
E 25.013122°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
N 23.536291°
E 25.010376°		 ← 279.96 m →
78 389 m²		 N 23.536291°
E 25.013122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569477081298828 y=0.432697296142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569477081298828 × 217)
    floor (0.569477081298828 × 131072)
    floor (74642.5)     		tx = 74642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432697296142578 × 217)
    floor (0.432697296142578 × 131072)
    floor (56714.5)     		ty = 56714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74642 / 56714 ti = "17/74642/56714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74642/56714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74642 ÷ 217
    74642 ÷ 131072     		x = 0.569473266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56714 ÷ 217
    56714 ÷ 131072     		y = 0.432693481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569473266601562 × 2 - 1) × π
    0.138946533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43651341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432693481445312 × 2 - 1) × π
    0.134613037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.422899328448135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43651341} λ = 0.43651341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422899328448135))-π/2
    2×atan(1.52638062512518)-π/2
    2×0.99081302427987-π/2
    1.98162604855974-1.57079632675     		φ = 0.41082972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43651341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.010376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41082972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.538809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74642 KachelY 56714 0.43651341 0.41082972 25.010376 23.538809
    Oben rechts KachelX + 1 74643 KachelY 56714 0.43656134 0.41082972 25.013122 23.538809
    Unten links KachelX 74642 KachelY + 1 56715 0.43651341 0.41078577 25.010376 23.536291
    Unten rechts KachelX + 1 74643 KachelY + 1 56715 0.43656134 0.41078577 25.013122 23.536291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41082972-0.41078577) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41082972-0.41078577) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43651341-0.43656134) × cos(0.41082972) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916789773033792 × 6371000     		do = 279.952786177009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43651341-0.43656134) × cos(0.41078577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916807324466186 × 6371000     		du = 279.958145718035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41082972)-sin(0.41078577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916789773033792-0.916807324466186)×R²
    abs(0.43656134-0.43651341)×1.75514323943471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75514323943471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75514323943471e-05×40589641000000     		ar = 78389.0562352563m²