Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74641 / 56717
↖ ↑ ↗
← N 23.531255°
E 25.007629°		 ← 280.03 m → N 23.531255°
E 25.010376°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
N 23.528736°
E 25.007629°		 ← 280.03 m →
78 410 m²		 N 23.528736°
E 25.010376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569469451904297 y=0.432720184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569469451904297 × 217)
    floor (0.569469451904297 × 131072)
    floor (74641.5)     		tx = 74641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432720184326172 × 217)
    floor (0.432720184326172 × 131072)
    floor (56717.5)     		ty = 56717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74641 / 56717 ti = "17/74641/56717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74641/56717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74641 ÷ 217
    74641 ÷ 131072     		x = 0.569465637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56717 ÷ 217
    56717 ÷ 131072     		y = 0.432716369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569465637207031 × 2 - 1) × π
    0.138931274414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43646547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432716369628906 × 2 - 1) × π
    0.134567260742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.422755517749275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43646547} λ = 0.43646547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422755517749275))-π/2
    2×atan(1.52616113104393)-π/2
    2×0.990747100298017-π/2
    1.98149420059603-1.57079632675     		φ = 0.41069787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43646547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.007629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41069787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.531255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74641 KachelY 56717 0.43646547 0.41069787 25.007629 23.531255
    Oben rechts KachelX + 1 74642 KachelY 56717 0.43651341 0.41069787 25.010376 23.531255
    Unten links KachelX 74641 KachelY + 1 56718 0.43646547 0.41065392 25.007629 23.528736
    Unten rechts KachelX + 1 74642 KachelY + 1 56718 0.43651341 0.41065392 25.010376 23.528736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41069787-0.41065392) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41069787-0.41065392) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43646547-0.43651341) × cos(0.41069787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916842422018219 × 6371000     		do = 280.027275208123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43646547-0.43651341) × cos(0.41065392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916859968137789 × 6371000     		du = 280.032634244677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41069787)-sin(0.41065392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916842422018219-0.916859968137789)×R²
    abs(0.43651341-0.43646547)×1.75461195706106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75461195706106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75461195706106e-05×40589641000000     		ar = 78409.9134992599m²